Question

Cho hàm số \(y=\frac{2mx-3}{x-1}\) và đường thẳng d: y = x + 1. Với giá trị nào của m thì d cắt đồ thị hàm số tại hai điểm phân biệt A, B đối xứng nhau qua đường thẳng d₁: y = - x + 7

Answer 1

Lời giải:
PT hoành độ giao điểm:

$\frac{2mx-3}{x-1}=x+1$

$\Leftrightarrow x^2-2mx+2=0(*)$

Để 2 ĐTHS cắt nhau tại 2 điểm $A,B$ thì PT $(*)$ có 2 nghiệm phân biệt $x_A,x_B$

$\Leftrightarrow \Delta'=m^2-2>0$

Áp dụng định lý Viet: $x_A+x_B=2m$

$A,B$ đối xứng với nhau qua đường thẳng $d_1$ thì $d_1$ đi qua trung điểm của $AB$

$\Leftrightarrow (\frac{x_A+x_B}{2}, \frac{y_A+y_B}{2})\in d_1$

$\Leftrightarrow \frac{y_A+y_B}{2}=-\frac{x_A+x_B}{2}+7$

$\Leftrightarrow \frac{x_A+1+x_B+1}{2}=-\frac{x_A+x_B}{2}+7$

$\Leftrightarrow x_A+x_B=6$

$\Leftrightarrow 2m=6\Leftrightarrow m=3$ (thỏa mãn)