Bài 2: Cực trị hàm số

Phương An

Cho hàm số \(y=2x^3-3\left(m+1\right)x^2+18mx+8\) (m là tham số). Tìm m để giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên \(\left[-1;2\right]\) là 24.

Chí Cường
20 tháng 12 2019 lúc 17:48

\(y'=6x^2-6\left(m+1\right)x+18m\)

\(\Delta=36\left(m^2-10m+1\right)\)

TH1: \(\Delta\le0\Rightarrow f\left(x\right)\) đồng biến trên R do đó \(\min\limits f\left(x\right)_{x\in\left[-1;2\right]}=f\left(-1\right)=-21m+3=24\Leftrightarrow m=-1\)(loại)

TH2: \(\Delta>0\), gọi \(x_1,x_2\) là hai điểm cực trị của hàm số

Nếu \(\left(x_0,y_0\right)\) là điểm cực trị của đồ thị hàm số thì \(y_0=\left(-m^2+10m-1\right)x_0+3m^2+3m+8\)

Ta xét các khả năng sau:

Nếu \(x_1\le-1< 2\le x_2\) thì hàm số nghịch biến trên đoạn [-1;2] do đó \(minf\left(x\right)=f\left(2\right)=24m+12=24\Leftrightarrow m=\frac{1}{2}\)(loại vì \(\Delta>0\))

Nếu \(-1\le x_1< x_2\le2\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y'\left(-1\right)\ge0\\y'\left(2\right)\ge0\\-1< \frac{x_1+x_2}{2}< 2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow-\frac{1}{2}\le m< 3\) , ta có: \(f\left(-1\right)=-21m+3\le\frac{21}{2}+3< 24\) nên hàm số không thể đạt GTNN tại x=-1, suy ra

\(minf\left(x\right)=f\left(x_2\right)=\left(-m^2+10m-1\right)x_2+3m^2+3m+8=24\)

với \(x_2=\frac{1}{2}\left(\sqrt{m^2-10m+1}+m+1\right)\)

Phương trình trên vô nghiệm với \(-\frac{1}{2}\le m< 3\)

Nếu \(-1\le x_1< 2\le x_2\) hoặc \(x_1\le-1\le x_2< 2\) \(\Leftrightarrow m=\frac{-1}{2}\)

Thay \(m=\frac{-1}{2}\) vào \(\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-1\\x=\frac{3}{2}\end{matrix}\right.\)

Dựa vào bảng biến thiên suy ra minf(x)=\(f\left(\frac{3}{2}\right)=8-\frac{135}{4}m=8-\frac{135}{4}.\frac{-1}{2}=\frac{199}{8}\ne24\)

Vậy không có giá trị nào của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Bình luận (0)
 Khách vãng lai đã xóa

Các câu hỏi tương tự
Tâm Cao
Xem chi tiết
Ngọc Linh
Xem chi tiết
Phạm Đức Dâng
Xem chi tiết
Phan Thị Cẩm Tiên
Xem chi tiết
Minh Nguyệt
Xem chi tiết
Vũ Sông Hương
Xem chi tiết
Nguyễn Huỳnh Đông Anh
Xem chi tiết
Tâm Cao
Xem chi tiết
AllesKlar
Xem chi tiết