Question

Cho hai số nguyên tố cùng nhau a, b. Chứng minh rằng ab và a + b cũng là hai số
nguyên tố cùng nhau.

Answer 1

 Giải

Giả sử d là ước nguyên tố của ab và a+b.

=> ab chia hết cho d và a+b chia hết cho d.

Vì ab chia hết cho d => a chia hết cho d và b chia hết cho d (Vì d là số nguyên tố)

Do vai trò của a và b bình đẳng nên:

Giả sử: a chia hết cho d => b chia hết cho d (vì a+b chia hết cho d)

=> d thuộc ƯC(a;b). Mà ƯCLN(a,b)=1

=> d=1(trái với d là số nguyên tố)

Do đó ab và a+b không thể có ước nguyên tố chung.

=> ƯCLN(ab,a+b)=1

Vậy ƯCLN(ab,a+b)=1

Answer 2

Giả sử \(d\) là ước nguyên tố của \(ab\) và \(a+b\).

\(\Rightarrow\) \(ab⋮d\) và \(a+b⋮d\)

Vì \(ab⋮d\) \(\Rightarrow\) \(a⋮d;b⋮d\) (Vì \(d\) là số nguyên tố)

Do vai trò của \(a\) và \(b\) bình đẳng nên:

Giả sử: \(a⋮d\) \(\Rightarrow\) \(b⋮d\) (Vì \(a+b⋮d\))

\(\Rightarrow\) \(d\inƯC\left(a;b\right)\). Mà \(ƯCLN\left(a,b\right)=1\)

\(\Rightarrow\) \(d=1\)(trái với \(d\) là số nguyên tố)

Do đó \(ab\) và \(a+b\) không thể có ước nguyên tố chung.

\(\Rightarrow\) \(ƯCLN\left(ab,a+b\right)=1\)

Vậy \(ƯCLN\left(ab,a+b\right)=1\)