Question

Cho hai số a và b thỏa mãn a + b =6 .Hãy chứng tỏ ab < 9

Answer 1

Ta có BĐT \(a+b\ge2\sqrt{ab}\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge\left(2\sqrt{ab}\right)^2\)

\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2\ge4ab\)

\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\forall a,b\)

Từ BĐT vừa chứng minh trên ta suy ra

\(a+b\ge2\sqrt{ab}\Rightarrow\sqrt{ab}\le\dfrac{a+b}{2}\Rightarrow ab\le\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2\)

\(\Rightarrow ab\le\left(\dfrac{6}{2}\right)^2=3^2=9\left(a+b=6\right)\)

Đẳng thức xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}a+b=2\sqrt{ab}\\a+b=6\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow a=b=3\)