Đại số lớp 8

Cho hai số a, b không đồng thời bằng 0. Tìm GTLN, GTNN của biểu thức :

\(Q=\dfrac{a^2-ab+b^2}{a^2+ab+b^2}\)

Trần Thị Thu Ngân
10 tháng 3 2017 lúc 20:49

ta có : 3-Q=\(\dfrac{2\left(a+b\right)^2}{a^2+ab+b^2}\)>=0

\(\Rightarrow\) Max Q=3

ta có : Q-\(\dfrac{1}{3}\)= \(\dfrac{2\left(a-b\right)^2}{3\left(a^2+ab+b^2\right)}\)>=0

\(\Rightarrow\)Min Q=\(\dfrac{-1}{3}\)

Bình luận (3)
Phan Cả Phát
10 tháng 3 2017 lúc 20:56

Hãy dùng phương pháp tập thể dục như của Hung nguyen nhé

Theo bài ra , ta có :

\(Q=\dfrac{a^2-ab+b^2}{a^2+ab+b^2}=\dfrac{a^2+ab+b^2-2ab}{a^2+ab+b^2}=1-\dfrac{2ab}{a^2+ab+b^2}\)

Vì a,b đồng thời không bằng không ta chia cả tử và mẩu cho 2ab , ta được

\(\dfrac{2a}{a^2+ab+b^2}=\dfrac{1}{\dfrac{a^2}{2ab}+1+\dfrac{b^2}{2ab}}=\dfrac{1}{\dfrac{a}{2b}+1+\dfrac{b}{2a}}\)

Vì a,b khác 0 =) a/2b , b/2a khác 0

Áp dụng BĐT cô si cho 2 số a/2b , b/2a khác 0

\(\Rightarrow\dfrac{a}{2b}+\dfrac{b}{2a}\ge2\sqrt{\dfrac{a}{2b}.\dfrac{b}{2a}}\)

\(\Rightarrow\dfrac{a}{2b}+\dfrac{b}{2a}\ge2\sqrt{\dfrac{1}{2}}=\dfrac{1}{4}\)

\(\Rightarrow\dfrac{a}{2b}+1+\dfrac{b}{2a}\ge1+\dfrac{1}{4}=\dfrac{5}{4}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{\dfrac{a}{2b}+1+\dfrac{b}{2a}}\le\dfrac{1}{\dfrac{5}{4}}=\dfrac{4}{5}\)

\(\Leftrightarrow1-\dfrac{1}{\dfrac{a}{2b}+1+\dfrac{b}{2a}}\le\dfrac{1}{5}\)

\(\Rightarrow Max_Q=\dfrac{1}{5}\Leftrightarrow\dfrac{a}{2b}=\dfrac{b}{2a}\Leftrightarrow\dfrac{a}{2b}-\dfrac{b}{2a}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a+b\right)=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=b\\a=-b\end{matrix}\right.\)

mà a và b là hai số khác 0 =) a = b

Vậy GTLN của Q là 1/5 khi và chỉ khi a = b

Bình luận (16)
soyeon_Tiểubàng giải
10 tháng 3 2017 lúc 21:58

Tìm Min

\(Q=1-\dfrac{2ab}{a^2+ab+b^2}\ge1-\dfrac{2ab}{2ab+ab}=1-\dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{3}\)

Dấu "=" xảy ra khi a = b

Bình luận (3)
soyeon_Tiểubàng giải
10 tháng 3 2017 lúc 22:10

Tìm Max

Chia cả 2 vế của Q cho b2 ta có:

\(Q=\dfrac{\left(\dfrac{a}{b}\right)^2-\dfrac{a}{b}+1}{\left(\dfrac{a}{b}\right)^2+\dfrac{a}{b}+1}\)

Đặt \(x=\dfrac{a}{b}\), lúc này ta có: \(Q=\dfrac{x^2-x+1}{x^2+x+1}\)\(=\dfrac{3x^2+3x+3-2x^2-4x-2}{x^2+x+1}=3-\dfrac{2\left(x+1\right)^2}{x^2+x+1}\le3\)

Dấu "=" xảy ra khi x = -1 = \(\dfrac{a}{b}\Leftrightarrow a=-b\)

Bình luận (5)
Neet
10 tháng 3 2017 lúc 23:04

e cũng góp 1 cách (nhưng của lớp 9)

\(Q=\dfrac{a^2-ab+b^2}{a^2+ab+b^2}\Leftrightarrow\left(Q-1\right)a^2+\left(Qb+b\right)a+Qb^2-b^2=0\)

phương trình ẩn a phải có nghiệm (thì mới có MIn Max )

\(\Delta=b^2-4ac=b^2\left(Q+1\right)^2-4b^2\left(Q-1\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow b^2\left[\left(Q+1\right)^2-4\left(Q-1\right)^2\right]\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(Q+1-2Q+2\right)\left(Q+1+2Q-2\right)\ge0\Leftrightarrow\left(3-Q\right)\left(3Q-1\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{3}\le Q\le3\)

dấu = xảy ra: (thay Q vừa tìm đk vào pt )

Bình luận (0)
Isolde Moria
12 tháng 3 2017 lúc 19:57

Biến đổi phân thức với biến \(x=\dfrac{a}{b}\) ta được :

\(Q=\dfrac{x^2-x+1}{x^2+x+1}\)

Thấy : Biểu thức nhận giá trị là m khi và chỉ khi phương trình \(m=\dfrac{x^2-x+1}{x^2+x+1}\)(*) có nghiệm .

Dễ thấy x2+x+1 > 0

Do đó (*) \(\Leftrightarrow mx^2+mx+m=x^2-x+1\)

\(\Leftrightarrow\left(m-1\right)x^2+\left(m+1\right)x+\left(m-1\right)=0\)(**)

(+) Nếu m = 1 => (**) có nghiệm x = 0

(+) Nếu \(m\ne1\)

Để (**) có nghiệm thì \(\Delta\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(m+1\right)^2-4\left(m-1\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(3m-1\right)\left(m-3\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{3}\le m\le3\)

+ Với \(m=\dfrac{1}{3}\) => x = 1

<=> Dấu " = " xảy ra khi a=b

+ Với \(m=3\) => x = - 1

<=> Dấu " = " xảy ra khi a = - b

Vậy MinQ=\(\dfrac{1}{3}\) khi a=b ; MaxQ=3 khi a = - b

Bình luận (0)
Isolde Moria
12 tháng 3 2017 lúc 18:59

Bài này với cách làm lớp 8 thì chắc chắn không tự nhiên cho lắm . Nên áp dụng " Công thức nghiệm phương trình bậc hai " lên lớp 9 sẽ được học sẽ tìm được cả Min lẫn Max . Cái này hôm bữa mình còng soạn dở trong bài giảng .

Bình luận (3)
༺ ๖ۣۜPhạm ✌Tuấn ✌Kiệτ ༻
10 tháng 3 2017 lúc 20:36

có ai biết làm bài này bằng cách lớp 8 ko ?

Bình luận (5)
Phan Cả Phát
10 tháng 3 2017 lúc 21:24

Ngân làm Max nha ༺ ๖ۣۜPhạm ✌Tuấn ✌Kiệτ ༻ còn mik làm Min nha cho mik sửa 1 chút thôi

Bình luận (5)
Phan Cả Phát
10 tháng 3 2017 lúc 22:43

Cho mình sửa lại bài này xíu nhé =))

Ta có :

\(Q=\dfrac{a^2-ab+b^2}{a^2+ab+b^2}=\dfrac{a^2+ab+b^2-2ab}{a^2+ab+b^2}=1-\dfrac{2ab}{a^2+ab+b^2}\)

Vì a và b là các số không âm ta chia cả tử và mẫu cho 2ab ta được :

\(\dfrac{2ab}{a^2+ab+b^2}=\dfrac{1}{\dfrac{a}{2b}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{b}{2a}}\)

Làm tương tự bài dưới và cuối cùng là ra \(-\dfrac{1}{3}\) nha

Cho mình xin lỗi ngonhuminh mình bị nhầm ở dòng thứ 3 do rút 2ab mà mik chỉ rút ab nên ms sai , Thứ lỗi nha đa tạ

Bình luận (5)
Nguyễn Thị Vân Anh
20 tháng 3 2017 lúc 5:47

Tớ còn cách này dễ hiểu hơn nè :

x2+x+1>0 . Ta có 2(x+1)2\(\ge\)0

\(\Rightarrow\)2x2-4x+2\(\ge\) 0 \(\Rightarrow\) 3(x2 -x +1)\(\ge\) x2+x+1

\(\Rightarrow\)Q\(\ge\)\(\dfrac{1}{3}\). Min Q=\(\dfrac{1}{3}\) Tương tự Max Q=3

Bình luận (2)

Các câu hỏi tương tự
Đặng Nguyễn Khánh Uyên
Xem chi tiết
Mítt Chocolate
Xem chi tiết
No ri do
Xem chi tiết
Nguyễn Quỳnh Giang
Xem chi tiết
Mítt Chocolate
Xem chi tiết
Võ Dương Vĩnh Thắng
Xem chi tiết
Mai Chung
Xem chi tiết
Phan Ngọc Thùy Linh
Xem chi tiết
Phương Linh
Xem chi tiết