Question

Cho hai điểm A(1; 0; 0) và B(5; 0; 0). Chứng minh rằng nếu điểm M(x; y; z) thỏa mãn \(\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB}=0\) thì M thuộc một mặt cầu (S). Tìm tâm và bán kính của (S).

Answer 1

Ta có \(\overrightarrow {MA}  = \left( {1 - x;y;z} \right)\) và \(\overrightarrow {MB}  = \left( {5 - x;y;z} \right)\).

Do \(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB}  = 0\) nên

\(\begin{array}{l}\left( {1 - x} \right)\left( {5 - x} \right) + {y^2} + {z^2} = 0\\ \Rightarrow {x^2} - 6x + 5 + {y^2} + {z^2} = 0\\ \Rightarrow \left( {{x^2} - 6x + 9} \right) + {y^2} + {z^2} = 4\\ \Rightarrow {\left( {x - 3} \right)^2} + {y^2} + {z^2} = 4\end{array}\)

Vậy điểm \(M\left( {x;y;z} \right)\) thuộc mặt cầu \(S\) có tâm \(I\left( {3;0;0} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt 4  = 2\).