cho góc xoy = 90 độ vẽ tia phân giác oz của góc xoy . Trên tia oz lấy điểm c.Qua c dựng đường thẳng vuông góc với oz , cắt ox , oy lần lượt tại A và B.Gọi D và E lần lượt là trung điểm của OA và OB.CMR:
a) tam giác OAC và tam giác BOC cân
b) C là trung điểm của AB
c) CE // Ox , CD//Oy
d) CD vuông góc CE
a)
*Chứng minh ΔOAC cân
Ta có: Oz là tia phân giác của \(\widehat{xOy}\)(gt)
⇒\(\widehat{xOz}=\widehat{yOz}=\frac{\widehat{xOy}}{2}=\frac{90^0}{2}=45^0\)
hay \(\widehat{BOC}=45^0\); \(\widehat{AOC}=45^0\)
Ta có: ΔOAC vuông tại C(OC⊥AB)
nên \(\widehat{AOC}+\widehat{CAO}=90^0\)(hai góc phụ nhau)
hay \(\widehat{CAO}=90^0-\widehat{AOC}=90^0-45^0=45^0\)
Xét ΔOAC có \(\widehat{AOC}=\widehat{CAO}\left(=45^0\right)\)
nên ΔOAC cân tại C(định lí đảo của tam giác cân)
*Chứng minh ΔBOC cân
Ta có: ΔBOC vuông tại C(OC⊥AB)
nên \(\widehat{CBO}+\widehat{BOC}=90^0\)(hai góc phụ nhau)
nên \(\widehat{CBO}=90^0-\widehat{BOC}=90^0-45^0=45^0\)
Xét ΔBOC có \(\widehat{BOC}=\widehat{CBO}\left(=45^0\right)\)
nên ΔBOC cân tại C(định lí đảo của tam giác cân)
b) Chứng minh C là trung điểm của AB
Ta có: ΔAOC cân tại C(cmt)
⇒CO=CA(định nghĩa tam giác cân)(1)
Ta có: ΔBOC cân tại C(cmt)
⇒CO=BC(định nghĩa tam giác cân)(2)
Từ (1) và (2) suy ra CA=BC
mà A,C,B thẳng hàng(gt)
nên C là trung điểm của AB(đpcm)
c)
*Chứng minh CE//Ox
Ta có: ΔCBO cân tại C(cmt)
mà CE là đường trung tuyến ứng với cạnh đáy BO(E là trung điểm của BO)
nên CE là đường cao ứng với cạnh BO(định lí tam giác cân)
⇒CE⊥BO
hay CE⊥Oy
Ta có: CE⊥Oy(cmt)
Ox⊥Oy(gt)
Do đó: CE//Ox(định lí 1 từ vuông góc tới song song)
*Chứng minh CD//Oy
Ta có: ΔCOA cân tại C(cmt)
mà CD là đường trung tuyến ứng với cạnh đáy OA(D là trung điểm của OA)
nên CD cũng là đường cao ứng với cạnh OA(định lí tam giác cân)
⇒CD⊥OA
hay CD⊥Ox
Ta có: CD⊥Ox(cmt)
Oy⊥Ox(gt)
Do đó: CD//Oy(định lí 1 từ vuông góc tới song song)
d) Ta có: CE⊥OB(cmt)
CD//OB(CD//Oy, B∈Oy)
Do đó: CE⊥CD(định lí 2 từ vuông góc tới song song)
