Cho em hỏi bài bạn N sai ở đâu ạ
Cho x,y là hai số thực dương dương. Tìm GTNN của \(P=\dfrac{a+b}{\sqrt{ab}}+\dfrac{\sqrt{ab}}{a+b}\)
Bạn N làm:
Đặt \(\dfrac{a+b}{\sqrt{ab}}=t\) \(\left(t>0\right)\)
⇒ \(P=t+\dfrac{1}{t}\)
⇔ \(t^2-Pt+1=0\) (*)
\(\Delta=P^2-4\)
Để pt (*) có nghiệm dương
⇒ \(\left\{{}\begin{matrix}\Delta\ge0\\P>0\\1>0\end{matrix}\right.\)⇒ \(\left\{{}\begin{matrix}P^2-4\ge0\\P>0\end{matrix}\right.\)⇒ \(P\ge2\)
Dấu bằng không xảy ra nhé. Nếu \(P_{min}=2\) thì \(t=\dfrac{a+b}{\sqrt{ab}}=1\Leftrightarrow a+b=\sqrt{ab}\).
Mà \(a,b>0\) nên luôn có \(a+b\ge2\sqrt{ab}\), không thỏa được phương trình trên nhe.
Bài này chọn điểm rơi hợp lí nhé, cụ thể, viết lại \(P\) thành:
\(P=\dfrac{3\left(a+b\right)}{4\sqrt{ab}}+\dfrac{a+b}{4\sqrt{ab}}+\dfrac{\sqrt{ab}}{a+b}\).
Theo \(AM-GM:a+b\ge2\sqrt{ab}\Rightarrow3\left(a+b\right)\ge6\sqrt{ab}\).
Do đó: \(P\ge\dfrac{6\sqrt{ab}}{4\sqrt{ab}}+2\sqrt{\dfrac{a+b}{4\sqrt{ab}}\cdot\dfrac{\sqrt{ab}}{a+b}}=\dfrac{5}{2}\).
Vậy: \(P_{min}=\dfrac{5}{2}\), dấu bằng xảy ra khi: \(\left\{{}\begin{matrix}a=b\\\dfrac{a+b}{4\sqrt{ab}}=\dfrac{\sqrt{ab}}{a+b}\end{matrix}\right.\Rightarrow a=b.\)
