cho đường tròn tâm O bán kính r=1,5cm đường kính AB K là một điểm thay đổi trên đường tròn. hai tiếp tuyến với đường tròn(O) tại A và K cắt nhau ở I . Đường thẳng IK cắt đường thẳng AB tại N đường thẳng OK cắt đường thẳng AI tại S.
a)c/m + 4 điểm A,K,N,S nằm trên một đường tròn
+IO//KB
+IO vuong goc SN
b. chờ AI=3cm. tính diện tích tam giác SNI
Lời giải:
a)
Vì $IK,IA$ là tiếp tuyến của $(O)$ nên \(IK\perp KO, IA\perp OA\), hay \(IK\perp OS, IA\perp ON\)
\(\Rightarrow \widehat{NKS}=\widehat{NAS}=90^0\)
Mà hai góc này cùng nhìn cạnh $NS$ nên suy ra tứ giác $ASNK$ nội tiếp, tức là $ASNK$ cùng thuộc một đường tròn.
b)
Theo tính chất hai đường tiếp tuyến cắt nhau ta suy ra $OI$ là phân giác góc \(\widehat{AOK}\)
\(\Rightarrow \widehat{IOA}=\frac{1}{2}\widehat{AOK}\)
Mag \(\widehat{ABK}=\frac{1}{2}\widehat{AOK}\) (góc nội tiếp bằng một nửa góc ở tâm chắn cùng một cung AK)
Do đó: \(\widehat{IOA}=\widehat{ABK}\). Mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên \(IO\parallel KB\)
Ý 2:
Xét tam giác $SNO$ có \(NK\perp SO, SA\perp NO\) và \(NK,SA\) cắt nhau tại $I$ nên $I$ là trực tâm của tam giác $SNO$
Suy ra \(OI\perp SN\) (đpcm)
c) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có \(IK=IA=3\)
Vì \(OI\parallel KB\) nên theo định lý Thales thì:
\(\frac{KN}{IK}=\frac{NB}{OB}\Leftrightarrow \frac{KN}{3}=\frac{NB}{1,5}\)
\(\Leftrightarrow KN=2NB(1)\)
Theo định lý Pitago: \(ON^2=OK^2+KN^2\)
\(\Leftrightarrow (OB+BN)^2=OK^2+KN^2\)
\(\Leftrightarrow (1,5+BN)^2=1,5^2+KN^2(2)\)
Từ (1); (2) dễ dàng tìm được \(BN=1; KN=2\)
Theo tính chất của hai tt cắt nhau thì $IO$ là phân giác của \(\widehat{AIK}\) hay \(\widehat{SIN}\)
Mà $IO$ đồng thời cũng là đường cao của tam giác $SIN$ do \(IO\perp SN\)
Do đó tam giác \(SIN\) cân tại $I$ nên \(SI=IN\)
\(S_{SIN}=\frac{AN.IS}{2}=\frac{AN.IN}{2}=\frac{(AB+BN)(IK+KN)}{2}=\frac{(3+1)(3+2)}{2}=10\) (cm vuông)