Cho đường tròn (O;R) với dây cung MN không đi qua tâm. Lấy A là một điểm bất kì trên tia đối của tia MN (A khác M). Từ điểm A vẽ hai tiếp tuyến AC, AB với đường tròn (O;R) sao cho điểm B nằm trên cung nhỏ MN (B, C là các tiếp điểm). Gọi I là trung điểm của MN a) Gọi E là giao điểm của MN với BC; K là giao điểm của OI và BC. Chứng minh rằng EM.EN = EA.EI và KN là tiếp tuyến của đường tròn
Xét (O) có
AB,AC là các tiếp tuyến
Do đó: AB=AC
=>A nằm trên đường trung trực của BC(1)
Ta có: OB=OC
=>O nằm trên đường trung trực của BC(2)
Từ (1),(2) suy ra OA là đường trung trực của BC
=>OA\(\perp\)BC tại H và H là trung điểm của BC
ΔOMN cân tại O
mà OI là đường trung tuyến
nên OI\(\perp\)MN tại I
Xét ΔOBA vuông tại B có BH là đường cao
nên \(OH\cdot OA=OB^2=R^2=ON^2\)
Xét ΔOIA vuông tại I và ΔOHK vuông tại H có
\(\widehat{IOA}\) chung
Do đó: ΔOIA~ΔOHK
=>\(\dfrac{OI}{OH}=\dfrac{OA}{OK}\)
=>\(OI\cdot OK=OH\cdot OA=ON^2\)
=>\(\dfrac{OI}{ON}=\dfrac{ON}{OK}\)
Xét ΔOIN và ΔONK có
\(\dfrac{OI}{ON}=\dfrac{ON}{OK}\)
\(\widehat{ION}\) chung
Do đó: ΔOIN~ΔONK
=>\(\widehat{OIN}=\widehat{ONK}\)
=>\(\widehat{ONK}=90^0\)
=>KN là tiếp tuyến của (O)
