Cho đường tròn (O;R) và một đường thẳng d cố định cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt. Từ một điểm M thuộc đường thẳng d nằm bên ngoài đường tròn, kẻ hai tiếp tuyến MC và MD tới đường tròn (C, D là các tiếp điểm).
a) chứng minh bốn điểm M, C, O, D cùng thuộc một đường tròn.
b) nếu đoạn thẳng OM cắt đường tròn tại I, chứng minh I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MCD.
a: Xét tứ giác MCOD có \(\widehat{MCO}+\widehat{MDO}=90^0+90^0=180^0\)
nên MCOD là tứ giác nội tiếp
=>M,C,O,D cùng thuộc một đường tròn
b: Xét (O) có
MC,MD là các tiếp tuyến
Do đó: MO là phân giác của góc CMD
Xét (O) có
MC,MD là các tiếp tuyến
Do đó: MC=MD
=>M nằm trên đường trung trực của CD(1)
Ta có: OC=OD
=>O nằm trên đường trung trực của CD(2)
Từ (1),(2) suy ra MO là đường trung trực của CD
=>MO\(\perp\)CD
Ta có: \(\widehat{MCI}+\widehat{OCI}=\widehat{OCM}=90^0\)
\(\widehat{DCI}+\widehat{OIC}=90^0\)(CD\(\perp\)MO)
mà \(\widehat{OCI}=\widehat{OIC}\)(ΔOIC cân tại O)
nên \(\widehat{MCI}=\widehat{DCI}\)
=>CI là phân giác của góc MCD
Xét ΔMCD có
CI,DO là các đường phân giác
CI cắt DO tại I
Do đó: I là tâm đường tròn nội tiếp ΔMCD
