Question

Cho đường tròn (O) và điểm A nằm ngoài đường tròn , kẻ 2 tiếp tuyến AM, AN. Qua A vẽ cát tuyến ABC (B nằm giữa A và C)

a) CM: A, M, O, N nằm trên 1 đường tròn

b) cm: AN^2= AB.AC

c) Tính BC biết AB=4, AN=6

d) gọi I là trung điểm BC, đường thẳng NI cắt đường tròn tại K. Cm: MK song song AC

Answer 1

Câu a : Ta có : \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{AMO}=90^0\\\widehat{ANO}=90^0\end{matrix}\right.\) ( Tiếp tuyến vuông góc với bán kính )

\(\Rightarrow\widehat{AMO}+\widehat{ANO}=90^0\)

Nên tứ giác AMON nội tiếp đường tròn hay A , M , O , N nằm trên 1 đường tròn (đpcm)

Câu b : Xét tam giác ANB và tam giác ACN ta có :

\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{CAN}:chung\\\widehat{ANB}=\widehat{ACN}\left(=\dfrac{1}{2}\stackrel\frown{NB}\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\Delta ANB\sim\Delta ACN\left(g-g\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{AB}{AN}\Rightarrow AN^2=AB.AC\left(đpcm\right)\)

Câu c : Từ câu b ta có : \(AN^2=AB.AC\Rightarrow AC=\dfrac{AN^2}{AB}=\dfrac{6^2}{4}=9cm\)

\(\Rightarrow BC=AC-AB=9-4=5cm\)