Question

Cho đường tròn (O) đường kính AB.Từ một điểm M thuộc tia đối của tia AB,vẽ tiếp tuyến MC,MD (C,D \(\in\)(O)).Vẽ \(CE\perp DB\) tại E.Gọi F là trung điểm của CE,BF cắt (O) tại điểm thứ hai G.Gọi H là giao điểm của AB và CD.Chứng minh:

a)Tứ giác CGHF nội tiếp.

b) Tứ giác MGHD nội tiếp.

c) BM tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp \(\Delta MGC\).

d) Cho CG cắt MH tại S.Chứng minh S là trung điểm của MH.

Answer 1

☠ Link hình: 22AUBrW

☠ Giải:

Câu a)

Theo gt: (O) có 2 tiếp tuyến MC và MD cắt nhau tại M

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}OC=OD\\MC=MD\end{matrix}\right.\)

⇒ OM là đường trung trực của CD

⇒ BM ⊥ CD tại H là trung điểm của CD

mà F là trung điểm của CE (gt)

⇒ HF là đường trung bình của Δ CED

⇒ HF // BD

\(\Rightarrow\widehat{GFH}=\widehat{GBD}\) (2 góc đồng vị)

mà \(\widehat{GBD}=\widehat{DCG}\left(\text{cùng chắn }\stackrel\frown{DG}\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{GFH}=\widehat{DCG}\)

⇒ Tứ giác CGHF nội tiếp

Câu b)

Ta có: FH // BD và CE ⊥ BD

⇒ FH ⊥ CE hay \(\widehat{CFH}=90^0\)

mà \(\widehat{CFH}+\widehat{CGH}=180^0\) (tứ giác CGHF nội tiếp)

\(\Rightarrow\widehat{CGH}=90^0\) hay \(\widehat{GCH}+\widehat{GHC}=90^0\)

mà \(\widehat{GHM}+\widehat{GHC}=90^0\)

\(\Rightarrow\widehat{GCH}=\widehat{GHM}\)

mà \(\widehat{GCD}=\widehat{GDM}\)

\(\Rightarrow\widehat{GDM}=\widehat{GHM}\)

⇒ Tứ giác MGHD nội tiếp

Câu c)

Vì tứ giác MGHD nội tiếp \(\Rightarrow\widehat{GMH}=\widehat{GDH}\)

mà \(\widehat{GDH}=\widehat{GCM}\left(\text{cùng chắn }\stackrel\frown{CG}\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{GMH}=\widehat{GCM}\)

⇒ BM tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp .
(theo định lí đảo của định lí về góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung)

Câu d)

ΔSMG ∼ ΔSCM (g.g.) (do có \(\widehat{MSG}\) chung và \(\widehat{GMH}=\widehat{GCM}\))

⇒ SM² = SC . SG (1)

ΔSGH ∼ ΔSHC (g.g.) (do có \(\widehat{SGH}=\widehat{SHC}=90^0\) và \(\widehat{GCH}=\widehat{GHM}\))

⇒ SH² = SG . SC (2)

Từ (1) và (2) ⇒ SM = SH

⇒ S là trung điểm của MH.

- end -