Question

Cho đường tròn O, đường kính AB. Trên tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A lấy điểm M (M khác A). Từ M vẽ tiếp tuyến thứ hai MC với đường tròn (O) (C là tiếp điểm). Kẻ $CH\perp AB\left(H\in AB\right)$, MB cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là K và cắt CH tại N. Chứng minh rằng: \(BC^2=BN.BK\) 

Answer 1

Xét (O) có

ΔBKA nội tiếp

BA là đường kính

Do đó;ΔBKA vuông tại K

Xét ΔBHN vuông tại H và ΔBKA vuông tại K có

\(\widehat{HBN}\) chung

Do đó: ΔBHN~ΔBKA

=>\(\dfrac{BH}{BK}=\dfrac{BN}{BA}\)

=>\(BH\cdot BA=BK\cdot BN\left(1\right)\)

Xét (O) có

ΔCAB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔCAB vuông tại C

Xét ΔCAB vuông tại C có CH là đường cao

nên \(BH\cdot BA=BC^2\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra \(BC^2=BN\cdot BK\)