Cho đường tròn (O) đường kính AB. Trên đoạn OB lấy điểm H sao cho HB ≥ HO. Qua H kẻ dây CD vuông góc với AB. a) Giả sử BAC ’ = 30◦ và AC = 8 cm. Tính độ dài bán kính đường tròn (O) và độ dài dây CD. b) Lấy điểm I nằm trong tam giác ACH sao cho BI = BC. Chứng minh BI2 = BH.BA và BIH ’ = BAI. ’ c) Gọi giao điểm của AI và CH là K. Qua I kẻ đường thẳng vuông góc với AK cắt đường thẳng CD tại P. Giả sử BK song song với IH. Chứng minh KB2 = KI.KA = KH.KP, KBP ÷ = 90◦ và OI = OH.
a: Xét (O) có
ΔCAB nội tiếp
AB là đường kính
Do đó: ΔCAB vuông tại C
Xét ΔCAB vuông tại C có \(cosBAC=\frac{AC}{AB}\)
=>\(\frac{8}{AB}=cos30=\frac{\sqrt3}{2}\)
=>\(AB=8\cdot\frac{2}{\sqrt3}=\frac{16}{\sqrt3}\left(\operatorname{cm}\right)\)
=>Độ dài bán kính là \(R=\frac{AB}{2}=\frac{16}{\sqrt3}:2=\frac{8}{\sqrt3}\) (cm)
Xét ΔCHA vuông tại H có sin CAH\(=\frac{CH}{CA}\)
=>\(\frac{CH}{8}=\sin30=\frac12\)
=>CH=4(cm)
ΔOCD cân tại O
mà OH là đường cao
nên H là trung điểm của CD
=>\(CD=2\cdot CH=2\cdot4=8\left(\operatorname{cm}\right)\)
b: Xét ΔCAB vuông tại C có CH là đường cao
nên \(BH\cdot BA=BC^2\)
=>\(BH\cdot BA=BI^2\)
=>\(\frac{BH}{BI}=\frac{BI}{BA}\)
Xét ΔBHI và ΔBIA có
\(\frac{BH}{BI}=\frac{BI}{BA}\)
góc HBI chung
Do đó: ΔBHI~ΔBIA
=>\(\hat{BIH}=\hat{BAI}\)
Bài toán này có nhiều yêu cầu, mỗi phần có thể xử lý theo kiến thức học lớp 9. • a) Do AB là đường kính nên tam giác ABC vuông tại C. Khi \angle BAC = 30° và AC = 8\,cm thì tam giác ABC là tam giác vuông 30‑60‑90. Theo tỷ lệ cạnh 1:√3:2, ta suy ra AB = 16/\sqrt{3}\,cm và bán kính (O) = 8/\sqrt{3}\,cm (xấp xỉ 4{,}62\,cm). Dây CD vuông góc AB tại H có độ dài CD = 2\sqrt{R^2 - OH^2}, trong đó R là bán kính và OH là khoảng cách từ tâm O đến H. • b) Giả sử I là chân đường cao từ B xuống AC trong tam giác ACH. Trong tam giác vuông, đường cao tại B thoả mãn hệ thức BI^2 = BH\cdot BA và \angle BHI = 90°. Bạn có thể dựa vào định lý hệ thức đường cao trong tam giác vuông để chứng minh các mệnh đề "BI^2 = BH\cdot BA" và "\angle BHI = 90°". • c) ở phần sau, khi gọi K là giao điểm AI và CH và qua I kẻ đường thẳng vuông góc AK cắt đường tròn CD tại P, ta sử dụng tính chất tam giác đồng dạng và định lý về hệ thức đường cao/tia phân giác. Khi BK \parallel IH thì tam giác BKH đồng dạng với tam giác IHK, từ đó suy ra các hệ thức như KB^2 = KI\cdot KA = KH\cdot KP và \angle KBP = 90°. Cuối cùng, do hai bán kính OO’ song song và vuông góc, ta có thể chứng minh OI \perp OH. Như vậy, bạn có thể dựa vào các tính chất tam giác vuông, đường cao và tam giác đồng dạng để hoàn thành bài.
