Cho đường tròn (O) có đường kính AB cố định, M là 1 điểm thuộc đường tròn (M khác A,B). Các tiếp tuyến của (O) tai A và M cắt nhau tại C. Đường tròn (I) qua M và tiếp xúc với đường thẳng AC tại C, CD là đường kính của (I). Chứng minh
a, O,M,D thẳng hàng
b, Tam giác COD cân
c, Đường thẳng qua D và vuông góc với BC luôn đi qua 1 điểm cố định khi M di động trên (O)
Bạn tự vẽ hình nha
Gọi E và F thứ tự là giao điểm của CD với BM và AM; AM cắt OE tại S
Đường thẳng qua D vuông góc với BC tại H; cắt AO tại N
Ta sẽ chứng minh:
1) E thuộc đường tròn đường kính OC từ đó suy ra tứ giác SMOB và tứ giác MHOB nội tiếp. Từ đó suy ra S; D; H thẳng hàng
2) D là trung điểm của EF. Từ đó suy ra N là trung điểm của AO
Vậy đường thẳng qua D vuông góc với BC đi qua điểm N cố định.
3)chứng minh: E thuộc đường tròn đường kính OC từ đó suy ra tứ giác SMOB và tứ giác MHOB nội tiếp. Từ đó suy ra S; D; H thẳng hàng
Vì đường tròn (I) tiếp xúc với AC nên CI vuông góc với AC. Do đó CI // AB ; từ đó và tính chất của tiếp tuyến ta có các góc CEM ; ABM ; CAM bằng nhau. Từ đó ta có E thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ACM , hay E nằm trên đường tròn đường kính OC. Do đó AOEC là hình chữ nhật. Hay EO vuông góc với OB.
Vì AOEC là hình chữ nhật và tứ giác CHBM nội tiếp nên các góc DMH ; DCH và OBH bằng nhau. Do đó tứ giác HMBO nội tiếp. Mặt khác tứ giác SMOB cũng là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính BS. Vậy H nằm trên đường tròn đường kính BS. Từ đó ta cũng có S ; D ; H thẳng hàng.
Ta chứng minh: D là trung điểm của EF. Từ đó suy ra N là trung điểm của AO
tại N. Do đó N là trung điểm của AO.
Vậy đường thẳng qua D vuông góc với BC đi qua điểm N cố định.
khác A). Đường thẳng qua I vuông góc với AB cắt (O) tại C và D. Trên tia đối của tia BA lấy điểm S cố định. Đoạn CS cắt (O) tại M, gọi E là giao điểm của DM và AB.
