Question

Cho \(\Delta ABC\)có AB = 6cm, AC = 8cm, BC = 10cm, BD là tia phân giác của góc B, đường cao AE, BD cắt AE tại N.

a, Tính DA, DC

b, AB² = BE . BC

c, AE² = BE . EC

d, Tính NE.

Answer 1

Answer 2

a) Xét \(\Delta BAC\)có phân giác BD (giả thiết).

\(\Rightarrow\frac{BA}{BC}=\frac{AD}{CD}\)(tính chất).

\(\Rightarrow\frac{BA}{BC+BA}=\frac{AD}{CD+AD}=\frac{AD}{AC}\)(tính chất của tỉ lệ thức).

\(\Rightarrow\frac{6}{10+6}=\frac{AD}{8}\)(thay số).

\(\Rightarrow\frac{6}{16}=\frac{AD}{8}\)

\(\Rightarrow AD=\frac{6}{16}.8=\frac{3}{8}.8=3\left(cm\right)\)

Do đó \(CD=AC-AD=8-3=5\left(cm\right)\)

Vậy \(AD=3cm,CD=5cm\)

Answer 3

b) Xét \(\Delta ABC\)có: \(AB=6cm,AC=8cm,BC=10cm\)

Mà \(AB^2+AC^2=6^2+8^2=100=10^2=BC^2\)

\(\Rightarrow\Delta ABC\)vuông tại A (định lí Py-ta-go đảo).

\(\Rightarrow\widehat{BAC}=90^0\)

Xét \(\Delta ABC\)và \(\Delta EBA\)có:

\(\widehat{CBA}\)chung.

\(\widehat{BAC}=\widehat{BEA}=90^0\)

\(\Rightarrow\Delta ABC~\Delta EBA\left(g.g\right)\)

\(\Rightarrow\frac{AB}{EB}=\frac{BC}{AB}\)(2 cặp cạnh tương ứng tỉ lệ).

\(\Rightarrow AB^2=BE.BC\)(điều phải chứng minh).

Answer 4

Xét \(\Delta EBA\)và \(\Delta EAC\)có:

\(\widehat{AEB}=\widehat{CEA}=90^0\)

\(\widehat{BAE}=\widehat{ACE}\)(cùng phụ với \(\widehat{EAC}\))

\(\Rightarrow\Delta EBA~\Delta EAC\left(g.g\right)\)

\(\Rightarrow\frac{BE}{AE}=\frac{AE}{CE}\)(2 cặp cạnh tương ứng tỉ lệ).

\(\Rightarrow AE^2=BE.CE\)(điều phải chứng minh).

Answer 5

d) Xét \(\Delta BAE\)có phân giác BN \(\left(N\in AE\right)\)(giả thiết).

\(\Rightarrow\frac{AB}{EB}=\frac{AN}{NE}\)(tính chất).

\(\Rightarrow\frac{BC}{AB}=\frac{AN}{NE}\)(vì \(\frac{AB}{BE}=\frac{BC}{AB}\)theo câu b)).

\(\Rightarrow\frac{10}{6}=\frac{AN}{NE}\)(thay số).\(\Rightarrow\frac{NE}{AN}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}\)(tính chất của tỉ lệ thức).

\(\Rightarrow\frac{NE}{AN+NE}=\frac{3}{5+3}\)(tính chất của ti lệ thức).

\(\Rightarrow\frac{NE}{AE}=\frac{3}{8}\)\(\Rightarrow NE=\frac{3AE}{8}\left(1\right)\)

Vì \(\Delta ABC\)vuông tại A.

Và \(AE\)là đường cao ứng với cạnh huyền BC.

\(\Rightarrow S_{ABC}=\frac{AE.BC}{2}\)

Mặt khác, \(\Delta ABC\)vuông tại A.

\(\Rightarrow S_{ABC}=\frac{AB.AC}{2}\)

Do đó \(\frac{AE.BC}{2}=\frac{AB.AC}{2}\Rightarrow AE.BC=AB.AC\)

\(\Rightarrow AE.10=6.8\)(thay số).

\(\Rightarrow10AE=48\)

\(\Rightarrow AE=\frac{48}{10}=4,8\left(cm\right)\)

Từ (1) \(\Rightarrow NE=\frac{3.4,8}{8}=\frac{14,4}{8}=1,8\left(cm\right)\)

Vậy \(NE=1,8cm\).