Question

Cho \(\Delta ABC\). Gọi D là điểm nằm trên cạnh AC sao cho DC = 2DA, gọi E là trung điểm của BD.
a) Biểu diễn vectơ \(\overrightarrow{AE}\) qua 2 vectơ \(\overrightarrow{AB}\) và\(\overrightarrow{AC}\)

b) Gọi F là điểm thuộc cạnh BC sao cho FC = 3FB. Chứng minh A,E,F thẳng hàng

Answer 1

\(\overrightarrow{AE}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}.\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{6}\overrightarrow{AC}\)

\(FC=3FB\Rightarrow\overrightarrow{BF}=\frac{1}{4}\overrightarrow{BC}\)

\(\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BF}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{4}\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{4}\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}\right)\)

\(\overrightarrow{AF}=\frac{3}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}=\frac{3}{2}\left(\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{6}\overrightarrow{AC}\right)=\frac{3}{2}\overrightarrow{AE}\)

\(\Rightarrow\) A;E;F thẳng hàng