Lời giải:
a)
Xét tam giác $HDC$ có $I$ là trung điểm của $HD$, $M$ là trung điểm $HC$ nên $IM$ là đường trung bình của tam giác ứng với cạnh $DC$
\(\Rightarrow IM\parallel DC\)
Mà \(AD\perp BC\) (gt) hay \(AD\perp DC\)
Do đó: \(IM\perp AD\) (đpcm)
b)
Xét tam giác $ADM$ có \(MI\perp AD; DI\perp AM\) . $I$ là giao điểm của 2 đường cao trong tam giác nên $I$ là trực tâm.
Theo tính chất 3 đường cao đồng quy tại một điểm suy ra $AI$ cũng là đường cao của tam giác $ADM$
\(\Rightarrow AI\perp DM\) (đpcm)