a: ΔDEF vuông tại D
=>\(DE^2+DF^2=EF^2\)
=>\(DF=\sqrt{20^2-12^2}=16\left(cm\right)\)
Xét ΔEDF có EK là phân giác
nên \(\dfrac{KD}{DE}=\dfrac{KF}{FE}\)
=>\(\dfrac{KD}{12}=\dfrac{KF}{20}\)
=>\(\dfrac{KD}{3}=\dfrac{KF}{5}\)
mà KD+KF=DF=16cm
nên Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:
\(\dfrac{KD}{3}=\dfrac{KF}{5}=\dfrac{KD+KF}{3+5}=\dfrac{DF}{8}=\dfrac{16}{8}=2\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}KD=2\cdot3=6\left(cm\right)\\KF=2\cdot5=10\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)
b: Xét ΔEHD vuông tại H và ΔEDF vuông tại D có
\(\widehat{HED}\) chung
Do đó: ΔEHD~ΔEDF
=>\(\dfrac{EH}{ED}=\dfrac{ED}{EF}\)(1)
=>\(EH\cdot EF=ED^2\)
Xét ΔHED có EI là phân giác
nên \(\dfrac{EH}{ED}=\dfrac{HI}{ID}\left(2\right)\)
Xét ΔEDF có EK là phân giác
nên \(\dfrac{ED}{EF}=\dfrac{DK}{KF}\left(3\right)\)
Từ (1),(2),(3) suy ra \(\dfrac{HI}{ID}=\dfrac{DK}{KF}\)
=>\(HI\cdot KF=DI\cdot DK\)
Ta có: \(\widehat{EKD}+\widehat{KED}=90^0\)(ΔDKE vuông tại D)
\(\widehat{HIE}+\widehat{HEI}=90^0\)(ΔHEI vuông tại H)
mà \(\widehat{KED}=\widehat{HEI}\)(EK là phân giác của góc DEF)
nên \(\widehat{EKD}=\widehat{EIH}\)
=>\(\widehat{DKI}=\widehat{DIK}\)
=>ΔDKI cân tại D
=>DI=DK
=>\(HI\cdot KF=DI\cdot DI=DI^2\)
