Chương 3: DÃY SỐ. CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN

Thành Công

cho dãy số (un) xác định bởi: \(\left\{{}\begin{matrix}u_1=u_2=1\\u_{n+1}=\sqrt{u_n}+\sqrt{u_{n-1}}\end{matrix}\right.\), \(\forall n\ge2\).

Tính limun

Nguyễn Việt Lâm
22 tháng 9 2019 lúc 23:40

Dãy số đã cho hiển nhiên là dãy dương

\(u_3=2>1\Rightarrow\) dự đoán dãy trên là dãy tăng hay \(u_{n+1}>u_n\) \(\forall n\ge2\)

Với \(n=2\) ta có \(u_3>u_2\) (đúng)

Giả thiết cũng đúng với \(n=k\) hay \(u_{k+1}>u_k\)

Ta cần chứng minh \(u_{k+1}>u_{k+1}\)

Thật vậy, \(u_{k+2}=\sqrt{u_{k+1}}+\sqrt{u_k}>\sqrt{u_k}+\sqrt{u_{k-1}}=u_{k+1}\)

Mặt khác \(u_n=\sqrt{u_{n-1}}+\sqrt{u_{n-2}}< \sqrt{u_n}+\sqrt{u_n}=2\sqrt{u_n}\)

\(\Rightarrow u_n^2< 4u_n\Rightarrow u_n< 4\)

\(\Rightarrow\) Dãy số tăng và bị chặn trên nên nó có giới hạn

Gọi giới hạn của dãy số là \(a\Rightarrow lim\left(u_n\right)=lim\left(u_{n-1}\right)=lim\left(u_{n+1}\right)=a\)

Từ biểu thức: \(u_{n+1}=\sqrt{u_n}+\sqrt{u_{n-1}}\)

Lấy giới hạn 2 vế: \(\Rightarrow a=\sqrt{a}+\sqrt{a}\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=0\left(l\right)\\a=4\end{matrix}\right.\)

Vậy \(lim\left(u_n\right)=4\)

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự
Kimian Hajan Ruventaren
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
Việt Phương
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
Khánh Ngọc
Xem chi tiết
NGUYỄN MINH HUY
Xem chi tiết
phamthiminhanh
Xem chi tiết
Sengoku
Xem chi tiết