Cho ΔABC vuông tại A (AB>AC). M là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MD=MA
a, Chứng minh: AB=DC, AB//DC
b, Chứng minh ΔACD=ΔCAB từ đó suy ra AM=\(\dfrac{BC}{2}\)
c, Trên tia đối của tia AC lấy điểm E sao cho EA=AC. Chứng minh BE//AM
d, Tìm điều kiện của ΔABC ra để AC=\(\dfrac{BC}{2}\)
e, Gọi O là trung điểm của AB. Chứng minh: Ba điểm E,O,D thẳng hàng
a: Xét ΔMAB và ΔMDC có
MA=MD
\(\widehat{AMB}=\widehat{DMC}\)(hai góc đối đỉnh)
MB=MC
Do đó: ΔMAB=ΔMDC
=>AB=DC
ΔMAB=ΔMDC
=>\(\widehat{MAB}=\widehat{MDC}\)
mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong
nên AB//DC
b: Ta có: AB//DC
AB\(\perp\)AC
Do đó: CD\(\perp\)CA
Xét ΔBAC vuông tại A và ΔDCA vuông tại C có
BA=DC
AC chung
Do đó: ΔBAC=ΔDCA
=>BC=DA
mà \(AM=\dfrac{1}{2}AD\)
nên \(AM=\dfrac{1}{2}BC\)
c: Xét ΔMAC và ΔMDB có
MA=MD
\(\widehat{AMC}=\widehat{DMB}\)(hai góc đối đỉnh)
MC=MB
Do đó: ΔMAC=ΔMDB
=>\(\widehat{MAC}=\widehat{MDB}\)
mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong
nên AC//BD
=>AE//BD
Ta có: AC=BD
AC=AE
Do đó: AE=BD
Xét ΔDBA vuông tại B và ΔEAB vuông tại A có
DB=EA
BA chung
Do đó: ΔDBA=ΔEAB
=>\(\widehat{BAD}=\widehat{EBA}\)
mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong
nên BE//AD
=>AM//BE
d: \(AM=MC=\dfrac{BC}{2}\)
mà \(AC=\dfrac{BC}{2}\)
nên AM=MC=AC
=>ΔAMC đều
=>\(\widehat{ACB}=60^0\)
e: Xét ΔOBD vuông tại B và ΔOAE vuông tại A có
OB=OA
BD=AE
Do đó: ΔOBD=ΔOAE
=>\(\widehat{BOD}=\widehat{AOE}\)
=>\(\widehat{BOD}+\widehat{BOE}=180^0\)
=>E,O,D thẳng hàng
