Question

Cho ΔABC nhọn không cân (AB < AC), có các đường cao AD, BE, CF đồng quy tại H. Gọi M là trung điểm của BC. Qua A vẽ d ⊥ AM, d cắt CF tại P, d cắt BE tại Q. Chứng minh rằng: AP = AQ.

Giúp mình với ạ

Answer 1

Gọi M là gốc tọa độ, đặt B(-a;0), C(a;0), A(m;n) với n > 0
Vì M là trung điểm BC nên cách đặt này hợp lí
Đường thẳng d đi qua A và vuông góc AM nên lấy điểm X trên d có dạng:
X(m - nt; n + mt)
Vì P thuộc CF, mà CF ⊥ AB nên:
(P - C).AB = 0
Suy ra tP = (m² + n² - a²)/(an)
Vì Q thuộc BE, mà BE ⊥ AC nên:
(Q - B).AC = 0
Suy ra tQ = -(m² + n² - a²)/(an)
Do đó tP = -tQ nên P và Q nằm hai phía của A trên đường thẳng d và cách A một khoảng bằng nhau
Vậy AP = AQ
Giải thích ngắn gọn: khi biểu diễn P, Q trên cùng đường thẳng d theo tham số t, ta thấy tham số của P và Q đối nhau, nên A là trung điểm của PQ, suy ra AP = AQ.