Question

cho đa thức  \(P\left(x\right)=x^3-x\) và \(Q\left(x\right)=x^{81}+x^{49}+x^{25}+x^9+x+1\). 

a. tìm số dư trong phép chia Q(x) cho P(x)

b.tìm x để Q(x) chia hết cho P(x)

Answer 1

a)

Gọi đa thức dư là A(x)

Vì đa thức dư P(x) có bậc là 3

nên đa thức dư có bậc không quá 2

hay đa thức dư có dạng là \(ax^2+bx+c\)

Ta có: Q(x)=\(A\left(x\right)\cdot\left(x-1\right)\cdot x\cdot\left(x+1\right)+ax^2+bx+c\)

Với x=1 thì a+b+c=6(1)

Với x=-1 thì a-b+c=-4(2)

Với x=0 thì  c=1

Thay c=1 vào (1), (2), ta được:

a+b=5 và a-b=-5

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=5-b\\5-b-b=-5\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=5-b\\-2b=-5-5=-10\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=5-5=0\\b=5\end{matrix}\right.\)

Vậy: đa thức dư có dạng là 5x+1

b) Để Q(x) chia hết cho P(x) thì 5x+1=0

\(\Leftrightarrow5x=-1\)

hay \(x=-\dfrac{1}{5}\)