Ta có : \(a^2+\frac{1}{9}\ge\frac{2}{3}a\)
Suy ra
\(VT\le\Sigma\left(\frac{a}{\left(a^2+1\right)}\right)\le\Sigma\frac{a}{\frac{2}{3}a+\frac{8}{9}}=\Sigma\frac{9a}{6a+8}=\frac{9}{2}-\Sigma\frac{6}{4+3a}\le\frac{9}{2}-\frac{54}{12+3\left(a+b+c\right)}=\frac{9}{10}\)
Đẳng thức xảy ra <=> \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
Cách khác nhá.
Lời giải
Ta sẽ c/m:\(\frac{a}{a^2+1}\le\frac{18}{25}a+\frac{3}{50}\)
Thật vậy,ta có: BĐT \(\Leftrightarrow\frac{a}{a^2+1}-\frac{18}{25}a-\frac{3}{50}\le0\)
Thật vậy:\(VT=\frac{-\left(4a+3\right)\left(3a-1\right)^2}{50\left(a^2+1\right)}\le0\forall x\)
Vậy \(\frac{a}{a^2+1}\le\frac{18}{25}a+\frac{3}{50}\).Thiết lập hai BĐT còn lại tương tự và cộng theo vế:
\(VT\le\frac{18}{25}\left(a+b+c\right)+\frac{9}{50}=\frac{9}{10}^{\left(đpcm\right)}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
Không mất tỉnh tổng quát giả sử \(a\ge b\ge c\Rightarrow a\ge\frac{1}{3}\ge c\). Xét hai trường hợp sau:
+) TH 1: \(c\ge\frac{-3}{4}\)ta có
\(\frac{9}{10}-\text{Σ}_{cyc}\left(\frac{a}{a^2+1}\right)=\text{Σ}_{cyc}\left(\frac{18a}{25}+\frac{5}{30}-\frac{a}{a^2+1}\right)\)\(=\text{Σ}_{cyc}\frac{\left(3a-1\right)^2\left(4a+3\right)}{50\left(a^2+1\right)}\ge0\)
+) TH 2: \(c\le\frac{-3}{4}\)Áp dụng bđt AM - GM, ta có:
\(\frac{a}{a^2+1}+\frac{b}{b^2+1}\le1\)
Khi đó nếu \(\frac{c}{c^2+1}\le-\frac{9}{10}\Leftrightarrow-5-2\sqrt{6}\le c\le-\frac{3}{4}\)ta có ngay điều phải chứng minh
Xét trường hợp \(-5-2\sqrt{6}\ge c\)khi đó ta có \(3+\sqrt{6}\le a\Rightarrow\frac{a}{a^2+1}\le\frac{1}{5}\).Từ đây suy ra:
\(\text{Σ}_{cyc}\left(\frac{a}{a^2+1}\right)\le\frac{a}{a^2+1}+\frac{b}{b^2+1}\le\frac{1}{5}+\frac{1}{2}=\frac{7}{10}< \frac{9}{10}\)
Vậy bđt được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
