Violympic toán 9

Đinh Tuấn Việt

cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn a+b+c=3.CMR

\(a^2/(a+2b^2) + b^2/(b+2c^2)+c^2/(c+2a^2) >= 1\)

Unruly Kid
18 tháng 12 2017 lúc 13:44

Ta có:

\(\dfrac{a^2}{a+2b^2}=a-\dfrac{2ab^2}{a+2b^2}=a-\dfrac{2ab^2}{a+b^2+b^2}\ge a-\dfrac{2ab^2}{3\sqrt[3]{a.b^2.b^2}}=a-\dfrac{2ab^2}{3\sqrt[3]{ab}.b}=a-\dfrac{2ab}{3\sqrt[3]{ab}}=a-\dfrac{2}{3}\sqrt[3]{a^2b^2}\ge a-\dfrac{2}{3}.\dfrac{a+b+ab}{3}=a-\dfrac{2}{9}\left(a+b+ab\right)\)

Tương tự: \(\dfrac{b^2}{b+2c^2}=b-\dfrac{2}{9}\left(b+c+bc\right)\)

\(\dfrac{c^2}{c+2a^2}\ge c-\dfrac{2}{9}\left(c+a+ca\right)\)

Cộng vế theo vế các BĐT vừa chứng minh, ta được:

\(VT\ge a+b+c-\dfrac{2}{9}.2\left(a+b+c\right)-\dfrac{2}{9}\left(ab+bc+ca\right)\)

\(VT\ge3-\dfrac{4}{9}.3-\dfrac{2}{9}.\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=1\)

Vậy ta đpcm. Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=1\)

#Chiến binh Alpha :))

Bình luận (0)
Đạt Trần
17 tháng 12 2017 lúc 16:50

chứng minh cái gì

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự
An Vũ
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
camcon
Xem chi tiết
Phác Chí Mẫn
Xem chi tiết
dia fic
Xem chi tiết
Ma Sói
Xem chi tiết
missing you =
Xem chi tiết
GG boylee
Xem chi tiết