Question

Cho các số thực a,b,c khác 0 thỏa : a + b + c = abc và \(a^2=bc\)

CM : \(a^2\ge3\)

Answer 1

Từ giả thiết : \(a+b+c=abc\) và \(a^2=bc\)

⇒ \(b+c=a^3-a\)

⇒ b và c là hai nghiệm của phương trình : \(x^2-\left(a^3-a\right)x+a^2=0\left(1\right)\)

\(\text{Δ}=\left(a^3-a\right)^2-\left(2a\right)^2=\left(a^3-a-2a\right)\left(a^3-a+2a\right)=\left(a^3-a\right)\left(a^3-3a\right)=a^2\left(a^2+1\right)\left(a^2-3\right)\) Vì (1) có nghiệm nên \(\text{Δ}=a^2\left(a^2+1\right)\left(a^2-3\right)\text{ ≥}0\)

Mà \(a^2>0;a^2+1>0\) nên \(a^2-3\text{ ≥}0\) hay \(a^2\text{ ≥}3\)