Question

Cho các số thực a,b là các số thực thõa mãn 4a^2-2ab+b^2=4a+2b.Tìm giá trị lớn nhất của P=253(2a+b)

Answer 1

\(4a^2-2ab+b^2=4a+2b\left(1\right)\)

Đặt \(x=2a+b\Leftrightarrow b=x-2a\)

\(\left(1\right)\Leftrightarrow4a^2-2a\left(x-2a\right)+\left(x-2a\right)^2=4a+2\left(x-2a\right)\)

\(\Leftrightarrow4a^2-2ax+4a^2+x^2-4ax+4a^2-4a-2x+4a=0\)

\(\Leftrightarrow12a^2-6ax+x^2-2x=0\)

Phương trình trên có nghiệm khi và chỉ khi

\(\Delta'=9x^2-12x^2+24x\ge0\)

\(\Leftrightarrow3x^2-24x\le0\)

\(\Leftrightarrow3x\left(x-8\right)\le0\)

\(\Leftrightarrow0\le x\le8\)

\(P=253\left(2a+b\right)=253x\)

\(\Rightarrow P=253x\le253.8=2024\)

Vậy \(P\left(max\right)=2024\) khi \(x=2a+b=8\)