Violympic toán 9

Hà12

Cho các số nguyên a,b,c thỏa mãn M=\(a^{2020}+b^{2020}+c^{2020}\) chia 30 dư 7 tìm số dư của P=\(a^{2024}+b^{2024}+c^{2024}\) khi chia 30.

bach nhac lam
12 tháng 8 2020 lúc 17:28

* Ta c/m: \(x^5-x⋮30\forall x\in Z\)

+ \(x^5-x=x\left(x^2-1\right)\left(x^2+1\right)=\left(x-1\right)x\left(x+1\right)\left(x^2-4+5\right)\)

\(=\left(x-2\right)\left(x-1\right)x\left(x+1\right)\left(x+2\right)+5\left(x-1\right)x\left(x+1\right)\)

\(\left(x-2\right)\left(x-1\right)x\left(x+1\right)\left(x+2\right)\) là tích 5 số nguyên liên tiếp

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x-2\right)\left(x-1\right)x\left(x+1\right)\left(x+2\right)⋮5\\\left(x-2\right)\left(x-1\right)x\left(x+1\right)\left(x+2\right)⋮2\\\left(x-2\right)\left(x-1\right)x\left(x+1\right)\left(x+2\right)⋮3\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(x-2\right)\left(x-1\right)x\left(x+1\right)\left(x+2\right)⋮30\) ( do 2,3,5 đôi một nguyên tố cùng nhau ) (1)

+ \(\left(x-1\right)x\left(x+1\right)\) là tích 3 số nguyên liên tiếp

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x-1\right)x\left(x+1\right)⋮2\\\left(x-1\right)x\left(x+1\right)⋮3\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left(x-1\right)x\left(x+1\right)⋮6\) ( do \(\left(2,3\right)=1\) )

\(\Rightarrow5\left(x-1\right)x\left(x+1\right)⋮30\) (2)

Từ (1) và (2) => đpcm

Trở lại bài toán ta có:

\(P-M=a^{2019}\left(a^5-a\right)+b^{2019}\left(b^5-b\right)+c^{2019}\left(c^5-c\right)⋮30\)

( do \(a^5-a⋮30,b^5-b⋮30,c^5-c⋮30\) )

=> P và M có cùng số dư khi chia 30

=> P chia 30 dư 7

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự
Angela jolie
Xem chi tiết
Hày Cưi
Xem chi tiết
Nguyễn Mai
Xem chi tiết
Vương Thiên Nhi
Xem chi tiết
Nguyễn Anh Kim Hân
Xem chi tiết
Annie Scarlet
Xem chi tiết
Esther Michael
Xem chi tiết
Hoàng Thị Mai Trang
Xem chi tiết
Nguyễn Hoàng
Xem chi tiết