Question

Cho các số dương a,b,c thỏa mãn a^2+b^2+c^2=64.Tìm GTLN của P=ab+bc+ca+a+b+c

Answer 1

\(\left(a+b+c\right)^2\le3\left(a^2+b^2+c^2\right).\)(áp dụng bất đẳng thức bunhiacopxki)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2\le3.64\Rightarrow\left(a+b+c\right)\le8\sqrt{3}\)

Lại có \(\left(ab+bc+ac\right)^2\le\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\)(bất đẳng thức bunhiacopxki)

\(\Leftrightarrow ab+bc+ac\le a^2+b^2+c^2=64\)

Khi đó \(P=ab+bc+ca+a+b+c\le64+8\sqrt{3}\)

Dấu = xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}a=b=c\\a^2+b^2+c^2=64\end{cases}\Leftrightarrow}a=b=c=\frac{8\sqrt{3}}{3}\)