Có: \(\left(a-\frac{1}{2}\right)^2\ge0\Leftrightarrow a^2-a+\frac{1}{4}\ge0\Leftrightarrow a^2+\frac{1}{4}\ge a\)
Tương tự cũng có : \(b^2+\frac{1}{4}\ge b\) ; \(c^2+\frac{1}{4}\ge c\)
Cộng vế với vế của các bất đẳng thức cùng chiều ta được :
\(a^2+b^2+c^2+\frac{3}{4}\ge a+b+c\)
Vì \(a+b+c=\frac{3}{2}\) nên \(a^2+b^2+c^2\ge\frac{3}{4}\)
Dấu \("="\) xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{2}\)
\(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)
\(\Rightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2ab+2bc+2ca\)
\(\Rightarrow3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\)
\(\Rightarrow3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=\frac{\left(\frac{3}{2}\right)^2}{3}=\frac{\frac{9}{4}}{3}=\frac{3}{4}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{2}\)
Mình chép lại đề bài các bạn giúp mình nha
Cho các số a, b, c thỏa mãn:a + b + c = \(\frac{3}{2}\) Chứng minh rằng: a2 + b2 + c2 \(\ge\frac{3}{4}\)
