Chương 4: BẤT ĐẲNG THỨC, BẤT PHƯƠNG TRÌNH

Anh Đỗ Nguyễn Thu

cho bất phương trình \(\sqrt{x-1}+\sqrt{5-x}+\sqrt{-x^2+6x-5}\ge m\left(1\right)\) Tìm giá trị lớn nhất của m để bất phương trình \(\left(2\right)\) nghiệm đúng với mọi \(x\in\left[1;5\right]\)

Hanako-kun
12 tháng 5 2020 lúc 22:33

\(\sqrt{x-1}+\sqrt{5-x}=t\Rightarrow t^2=4+2\sqrt{\left(5-x\right)\left(x-1\right)}\)

\(\Rightarrow\sqrt{\left(5-x\right)\left(x-1\right)}=\frac{t^2-4}{2}\)

\(\Rightarrow t+\frac{1}{2}t^2-2\ge m\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}t\ge0\\t=\sqrt{x-1}+\sqrt{5-x}\le\sqrt{\left(x-1+5-x\right)\left(1+1\right)}=2\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)

Bất phương trình trở thành:

Tìm giá trị lớn nhất của m để \(f\left(t\right)=\frac{1}{2}t^2+t-2\ge m\) có nghiệm đúng với \(\forall t\in\left[0;2\sqrt{2}\right]\)

\(\Leftrightarrow m\le max_{\left[0;2\sqrt{2}\right]}f\left(t\right)\)

Xét hàm \(f\left(t\right)=\frac{1}{2}t^2+t-2\) trên \(\left[0;2\sqrt{2}\right]\)

Do \(-\frac{b}{2a}=-1\notin\left[0;2\sqrt{2}\right]\) nên cực trị rơi vào 2 đầu mút

\(f\left(0\right)=-2;f\left(2\sqrt{2}\right)=2+2\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow max_{\left[0;2\sqrt{2}\right]}f\left(t\right)=f\left(2\sqrt{2}\right)=2+2\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow m\le2+2\sqrt{2}\Rightarrow m_{max}=2+2\sqrt{2}\)

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự
Hoàng
Xem chi tiết
Chee My
Xem chi tiết
Ánh Dương
Xem chi tiết
Kimian Hajan Ruventaren
Xem chi tiết
Lê Anh Ngọc
Xem chi tiết
Ichigo Hollow
Xem chi tiết
Đạt Kien
Xem chi tiết
Đinh Doãn Nam
Xem chi tiết
Annie Scarlet
Xem chi tiết