\(ab+bc+ca\le a^2+b^2+c^2=3\)
\(\Rightarrow0< \sqrt{ab};\sqrt{bc};\sqrt{ca}< \sqrt{3}< 2\)
Với số thực dương x bất kì sao cho \(x\in\left(0;2\right)\) ta có đánh giá:
\(\frac{1}{4-x}\le\frac{x^2+5}{18}\)
Thật vậy, BĐT tương đương: \(\left(x^2+5\right)\left(4-x\right)\ge18\)
\(\Leftrightarrow\left(2-x\right)\left(x-1\right)^2\ge0\) (luôn đúng với \(0< x< 2\))
Áp dụng:
\(\frac{1}{4-\sqrt{ab}}\le\frac{ab+5}{18}\) ; \(\frac{1}{4-\sqrt{bc}}\le\frac{bc+5}{18}\) ; \(\frac{1}{4-\sqrt{ca}}\le\frac{ca+5}{18}\)
Cộng vế với vế:
\(VT\le\frac{ab+bc+ca+15}{18}\le\frac{3+15}{18}=1\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
