Question

Cho B = \(\frac{x\left(1-x\right)^2}{1+x^2}:[\left(\frac{1-x^3}{1-x}+x\right)\left(\frac{1+x^3}{1+x}-x\right)]\)

a, Rút gọn B

b, CMR B > 0 với mọi giá trị x > 0

Answer 1

Lời giải:

ĐK: $x\neq \pm 1$

a) \(B=\frac{x(1-x)^2}{1+x^2}:\left[\left(\frac{(1-x)(1+x+x^2)}{1-x}+x\right)\left(\frac{1+x)(1-x+x^2)}{1+x}-x\right)\right]\)

\(B=\frac{x(1-x)^2}{1+x^2}:[(1+x+x^2+x)(1-x+x^2-x)]=\frac{x(1-x)^2}{1+x^2}:[(x+1)^2(x-1)^2]\)

\(=\frac{x(1-x)^2}{1+x^2}.\frac{1}{(x-1)^2(x+1)^2}=\frac{x}{(x^2+1)(x+1)^2}\)

b)

Với $x>0$ và $x\neq \pm 1$:

\(x^2+1>0; (x+1)^2>0; x>0\Rightarrow B=\frac{x}{(x^2+1)(x+1)^2}>0\) (đpcm)