Cho : a,b,x,y > 0 . CMR : \(\sqrt{ax}+\sqrt{by}\) ≤ \(\sqrt{\left(a+b\right)\left(x+y\right)}\)
Đặt: \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{a}=p\\\sqrt{b}=q\\\sqrt{x}=m\\\sqrt{y}=n\end{matrix}\right.\Leftrightarrow p;q;m;n>0\)
\(bdt\Leftrightarrow pm+qn\le\sqrt{\left(p^2+q^2\right)\left(m^2+n^2\right)}\)
Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky:
\(\left(p^2+q^2\right)\left(m^2+n^2\right)\ge\left(pm+qn\right)^2\Leftrightarrow\sqrt{\left(p^2+q^2\right)\left(m^2+n^2\right)}\ge pm+qn\)
Vậy bất đẳng thức cần chứng minh đúng. Dấu "=" khi: \(\dfrac{p^2}{m^2}=\dfrac{q^2}{n^2}\Leftrightarrow\dfrac{a}{x}=\dfrac{b}{y}\)
Đúng 0
Bình luận (2)
Đúng 0
Bình luận (0)
