Vì a,b,c,d là các số chính phương
nên \(\left\{{}\begin{matrix}a=x^2\\b=y^2\\c=z^2\\d=t^2\end{matrix}\right.\left(x,y,z,t\in N\right)\)
Ta có: \(\left(a+b\right)\left(c+d\right)\)
\(=\left(x^2+y^2\right)\left(z^2+t^2\right)\)
\(=x^2z^2+x^2t^2+z^2y^2+y^2t^2\)
\(=x^2z^2+y^2t^2+2xytz+x^2t^2-2xytz+z^2y^2\)
\(=\left(xz+ty\right)^2+\left(xt-zy\right)^2\)
là tổng của hai số chính phương(đpcm)
1.Cho \(a,b,c,d\) là các số nguyên thỏa mãn \(a^3+b^3=2\left(c^3-d^3\right)\) . Chứng minh rằng a+b+c+d chia hết cho 3
2.Cho ba số dương a,b,c thỏa mãn abc=1. Chứng minh rằng \(\dfrac{1}{a^3\left(b+c\right)}+\dfrac{1}{b^3\left(c+a\right)}+\dfrac{1}{c^3\left(a+b\right)}\ge\dfrac{3}{2}\)
Cho a, b, c là các số hữu tỉ thỏa mãn điều kiện ab + bc + ca = 1. Chứng minh biểu thức \(Q=\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)\) là bình phương của một số hữu tỉ.
Cho các số thực dương a,b,c,d. Chứng minh rằng: \(\frac{1}{\left(1+a\right)^2}+\frac{1}{\left(1+b\right)^2}+\frac{1}{\left(1+c\right)^2}+\frac{1}{\left(1+d\right)^2}\ge1\)
Tìm GTNN của biểu thức: \(B=\dfrac{1}{\left(1+a\right)^2}+\dfrac{1}{\left(1+b\right)^2}+\dfrac{1}{\left(1+c\right)^2}+\dfrac{1}{\left(1+d\right)^2}\) với a, b, c, d là các số dương và abcd=1
Cho 3 số nguyên a, b, c thỏa mãn: \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{1}{abc}\)
Chứng minh rằng: \(A=\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)\left(1+c^2\right)\)là số chính phương
Cho 4 số a,b,c,d bất kỳ chứng minh rằng:\(\sqrt{\left(a+c\right)^2+\left(b+d\right)^2}\)<\(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{c^2+d^2}\)
Cho a,b,c,d là các số nguyên thoả mãn điều kiện: ab+bc+ca=1
CMR:\(\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)\) là một số chính phương
Bài 2: Chứng minh rằng các biểu thức sau là bình phương của một số nguyên
\(M=\left(a+1\right)\left(a+2\right)\left(a+3\right)\left(a+4\right)+1\)
\(B=x^4-4x^3-2x^2-12x+9\)
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện abc=1
Chứng minh rằng : \(P=\dfrac{1}{\left(a+1\right)^2}+\dfrac{1}{\left(b+1\right)^2}+\dfrac{1}{\left(c+1\right)^2}+\dfrac{2}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}\ge1\)
Chứng minh đẳng thức:
a) Cho \(2\left(a^2+b^2\right)=\left(a-b\right)^2.\) Chứng minh rằng a; b là 2 số đối nhau.
b) Cho \(a^2+b^2+c^2+3=2\left(a+b+c.\right)\) Chứng minh rằng a = b = c = 1
c) Cho \(\left(a+b+c\right)^2=3\left(ab+ac+bc\right).\) Chứng minh rằng a = b = c
