Question

cho a,b,c,d >0 A=\(\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{b+c+d}+\frac{c}{c+d+a}+\frac{d}{d+a+b}\)

Tìm phần nguyên của A

Answer 1

Lời giải:

Ta thấy, với mọi $a,b,c,d>0$ ta có:

$\frac{a}{a+b+c}>\frac{a}{a+b+c+d}$

$\frac{b}{b+c+d}>\frac{b}{b+c+d+a}$

$\frac{c}{c+d+a}>\frac{c}{c+d+a+b}$

$\frac{d}{d+a+b}>\frac{d}{d+a+b+c}$

Cộng theo vế:

$\Rightarrow A>\frac{a+b+c+d}{a+b+c+d}$ hay $A>1(1)$

-----------------------

Mặt khác:

Xét hiệu:

$\frac{a}{a+b+c}-\frac{a+d}{a+b+c+d}=\frac{-d(b+c)}{(a+b+c)(a+b+c+d)}< 0$

$\Rightarrow \frac{a}{a+b+c}< \frac{a+d}{a+b+c+d}$

Tương tự:

$\frac{b}{b+c+d}< \frac{b+a}{b+c+d+a}$

$\frac{c}{c+d+a}< \frac{c+b}{c+d+a+b}$

$\frac{d}{d+a+b}< \frac{d+c}{d+a+b+c}$

Cộng theo vế:

$A< \frac{2(a+b+c+d)}{a+b+c+d}$ hay $A< 2(2)$

Từ $(1);(2)\Rightarrow 1< A< 2$

$\Rightarrow$ \(\left \lfloor A\right \rfloor=1\)