Áp dụng BĐT đã chứng minh ở dưới \(\left(x+y+z\right)^2\le3\left(x^2+y^2+z^2\right)\), ta có:
\(\left(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\right)^2\le3\left(a+b+b+c+c+a\right)\)
\(\Rightarrow\left(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\right)^2\le6\left(a+b+c\right)=6\)
\(\Rightarrow\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\le\sqrt{6}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\)
Áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacopxki cho 3 cặp số dương\(\left(1;\sqrt{a+b}\right);\left(1;\sqrt{b+c}\right);\left(1;\sqrt{c+a}\right)\)
\(1.\sqrt{a+b}+1.\sqrt{b+c}+1.\sqrt{c+a}\le\sqrt{\left(1+1+1\right)\left(a+b+b+c+c+a\right)}\)
\(\Rightarrow\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\le\sqrt{3.2\left(a+b+c\right)}=\sqrt{6}\)
Vậy \(đpcm\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho `x;y;z` , ta có:
`(\sqrt{a + b} + \sqrt{b + c} + \sqrt{c + a})^2 \leq 3. ((a + b) + (b + c) + (c + a)) = 3.2 = 6`
-> `\sqrt{a + b} + \sqrt{b + c} + \sqrt{c + a} \leq \sqrt{6}` (đpcm)
