Question

Cho \(a;b;c>0\) thỏa mãn \(abc=8\). Tìm GTNN của \(P=\dfrac{a^2}{2b+1}+\dfrac{b^2}{2c+1}+\dfrac{c^2}{2a+1}\)

Answer 1

Lời giải:

Áp dụng BĐT AM-GM:

$\frac{a^2}{2b+1}+\frac{4(2b+1)}{25}\geq 2\sqrt{\frac{4}{25}a^2}=\frac{4}{5}a$

$\frac{b^2}{2c+1}+\frac{4(2c+1)}{25}\geq 2\sqrt{\frac{4}{25}b^2}=\frac{4}{5}b$

$\frac{c^2}{2a+1}+\frac{4(2a+1)}{25}\geq 2\sqrt{\frac{4}{25}c^2}=\frac{4}{5}c$

Cộng 3 BĐT trên theo vế và thu gọn và áp dụng BĐT AM-GM lần nữa thì:

$P\geq \frac{12}{25}(a+b+c)-\frac{12}{25}\geq \frac{12}{25}.3\sqrt[3]{abc}-\frac{12}{25}$

$P\geq \frac{36}{25}.\sqrt[3]{8}-\frac{12}{25}=\frac{12}{5}$

Vậy $P_{\min}=\frac{12}{5}$. Giá trị này đạt tại $a=b=c=2$