Question

Cho \(a,b,c>0\) thỏa mãn \(3\left(a^2+b^2+c^2\right)+ab+bc+ca=12\) Tìm Max:

\(P=\frac{a^2+b^2+c^2}{a+b+c}+ab+bc+ca\)

Cho \(a,b,c>0\) thỏa mãn \(abc=a+b+c+2\) Tìm Max:

\(Q=\frac{1}{\sqrt{a^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{b^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{c^2+1}}\)

Answer 1

Để ý: \(ab+bc+ca=\frac{\left[\left(a+b+c\right)^2-\left(a^2+b^2+c^2\right)\right]}{2}\).

Do đó đặt  \(a^2+b^2+c^2=x>0;a+b+c=y>0\). Bài toán được viết lại thành:

Cho \(y^2+5x=24\), tìm max:

\(P=\frac{x}{y}+\frac{y^2-x}{2}=\frac{5x}{5y}+\frac{y^2-x}{2}\)

\(=\frac{24-y^2}{5y}+\frac{y^2-\frac{24-y^2}{5}}{2}\)

\(=\frac{24-y^2}{5y}+\frac{3\left(y^2-4\right)}{5}\)\(=\frac{3y^3-y^2-12y+24}{5y}\)

Đặt \(y=t\). Dễ thấy \(12=3\left(a^2+b^2+c^2\right)+\left(ab+bc+ca\right)=3t^2-5\left(ab+bc+ca\right)\)

Và dễ dàng chứng minh \(ab+bc+ca\le3\)

Suy ra \(3t^2=12+5\left(ab+bc+ca\right)\le27\Rightarrow t\le3\). Mặt khác do a, b, c>0 do đó \(0< t\le3\).

Ta cần tìm Max P với \(P=\frac{3t^3-t^2-12t+24}{5t}\)và \(0< t\le3\)

Ta thấy khi t tăng thì P tăng. Do đó P đạt giá trị lớn nhất khi t lớn nhất.

Khi đó P = 3. Vậy...