Violympic toán 9

Nguyễn Duy Hoàng

Cho a,b,c>0 thỏa mãn : 21ab+2bc+8ca\(\le\)12

Tìm minP=\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{b}+\dfrac{3}{c}\)

Lightning Farron
18 tháng 3 2017 lúc 18:30

Đặt \(\left\{\begin{matrix}a=\frac{1}{3x} & & \\ b=\frac{4}{5y} & & \\c=\frac{3}{2z} \end{matrix}\right.\)\((x,y,z>0)\)

Khi đó \(21a+2bc+8ca\leq12 \Leftrightarrow 3x+5y+7x \leq 15xyz\)

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(3x+5y+7z\geq 15\sqrt[15]{x^3y^5z^7}\)

\(\Rightarrow 15xyz\geq 15\sqrt[15]{x^3y^5z^7}=>x^6y^5z^4\geq 1\)

Ta có: \(P = 3x + 2.\dfrac{5}{4}y + 3.\dfrac{2}{3}z \)

\(= \dfrac{1}{2}(6x + 5y + 4z) \ge \dfrac{1}{2}.15\sqrt[{15}]{{{x^6}{y^5}{z^4}}} \ge \dfrac{{15}}{2}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=1\) hay \(\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{1}{3}\\b=\dfrac{4}{5}\\c=\dfrac{3}{2}\end{matrix}\right.\)

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự
Big City Boy
Xem chi tiết
dia fic
Xem chi tiết
Nguyễn Thế Hiếu
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
yeens
Xem chi tiết
Toankhowatroi
Xem chi tiết
oooloo
Xem chi tiết
oooloo
Xem chi tiết