Question

cho a,b,c>0 , chứng minh \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\left(1\right)\) Áp dụng chứng minh các BĐT sau:

a,\(\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\ge\frac{3}{2}\left(a+b+c\right)\) 

b,cho \(x,y,z>0\) thỏa mãn x+y+z=1.Tìm GTLN của biểu thức\(P=\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1}\) 

c,cho a,b,c>0 thỏa mãn\(a+b+c\le1\) Tìm GTNN của biểu thức\(P=\frac{1}{a^2+2bc}+\frac{1}{b^2+2ac}+\frac{1}{c^2+2ab}\) 

d,cho a,b,c >0 thỏa mãn a+b+c=1.Chứng minh\(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\ge30\)

Answer 1

Nhân cả 2 vế với a+b+c 

Chứng minh \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\) tương tự với \(\frac{b}{c}+\frac{c}{b};\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\)

\(\Leftrightarrow\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2\ge0\Leftrightarrow\frac{a^2-2ab+b^2}{ab}\ge0\Leftrightarrow\frac{\left(a-b\right)^2}{ab}\ge0\)luôn đúng do a;b>0

dễ rồi nhé

Answer 2

b) \(P=\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1}\)

\(P=\left(\frac{x+1}{x+1}+\frac{y+1}{y+1}+\frac{z+1}{z+1}\right)-\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\right)\)

\(P=\left(1+1+1\right)-\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\right)\)

\(P=3-\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\right)\)

Áp dụng bđt Cauchy Schwarz dạng Engel (mình nói bđt như vậy,chỗ này bạn cứ nói theo cái bđt đề bài cho đi) ta được: 

\(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{x+1+y+1+z+1}=\frac{9}{4}\)

=>\(P=3-\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\right)\le3-\frac{9}{4}=\frac{3}{4}\)

=>P_max=3/4 <=> x=y=z=1/3

Answer 3

c) Áp dụng bđt Cauchy Schwarz dạng Engel ta được:

\(P=\frac{1}{a^2+2bc}+\frac{1}{b^2+2ac}+\frac{1}{c^2+2ab}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{a^2+2ab+b^2+2ac+c^2+2ab}=\frac{9}{\left(a+b+c\right)^2}\)

<=>\(P\ge\frac{9}{\left(a+b+c\right)^2}\ge\frac{9}{1^2}=9\)

Vậy P_min=9 <=> a=b=c=1/3

Answer 4

a) \(VT=\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\)

\(VT=\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{a+b}+\frac{c^2}{a+b}+\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{b+c}+\frac{a^2}{c+a}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{c+a}\)

\(VT=\left(\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}\right)+\left(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\right)+\left(\frac{a^2}{c+a}+\frac{b^2}{a+b}+\frac{c^2}{b+c}\right)\)

Áp dụng bđt Cauchy Schwarz dạng Engel:

\(VT=\left(\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}\right)+\left(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\right)+\left(\frac{a^2}{c+a}+\frac{b^2}{a+b}+\frac{c^2}{b+c}\right)\)

\(\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}+\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}+\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}\)

<=>\(VT\ge\frac{a+b+c}{2}+\frac{a+b+c}{2}+\frac{a+b+c}{2}=\frac{3}{2}\left(a+b+c\right)=VP\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1

Answer 5

Do các bn kia lm câu a,b,c hết zồi nên mih xin lm câu d như sau:

Áp dụng BĐT Cauchy Schwarz dạng Engel:

\(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{ab+bc+ac}=\frac{9}{ab+bc+ac}\)

\(\Rightarrow VT=\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}\ge\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{9}{ab+bc+ac}\)

\(VT\ge\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab+bc+ac}+\frac{1}{ab+bc+ac}+\frac{7}{ab+bc+ac}\)

Một lần nữa áp dụng BĐT Cauchy Schwarz dạng Engel:

\(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab+bc+ac}+\frac{1}{ab+bc+ac}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2}=9\)

Lại có:

Áp dụng BĐT phụ \(ab+bc+ac\le\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=\frac{1}{3}\)

\(\Rightarrow\frac{7}{ab+bc+ac}\ge\frac{7}{\frac{1}{3}}=21\)

\(\Rightarrow VT\ge9+21=30\)

Dấu ''='' xảy ra khi x=y=z=1/3

Answer 6

C2 : a, Sử dụng bất đẳng thức Svac-xơ ta có :

\(a^2+b^2+c^2=\frac{a^2}{1}+\frac{b^2}{1}+\frac{c^2}{1}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{1+1+1}=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\)

\(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}=\frac{1^2}{a+b}+\frac{1^2}{b+c}+\frac{1^2}{c+a}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{a+b+b+c+c+a}=\frac{9}{2\left(a+b+c\right)}\)

Nhân theo vế các bất đẳng thức cùng chiều ta được :

\(\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}.\frac{9}{2\left(a+b+c\right)}\)

\(=\frac{9\left(a+b+c\right)^2}{3.2.\left(a+b+c\right)}=\frac{9\left(a+b+c\right)^2}{6\left(a+b+c\right)}=\frac{9\left(a+b+c\right)}{6}=\frac{3}{2}\left(a+b+c\right)\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c\)

Vậy ta có điều phải chứng minh