a: Khi quay ΔABH quanh cạnh AB cố định thì hình tạo thành sẽ là hình nón có trục là AB, đáy là đường tròn tâm A, bán kính AH, đường sinh là BH, chiều cao là AB
Gọi O là trung điểm của AB
=>AB là đường kính của (O)
Xét (O) có
ΔAHB nội tiếp
AB là đường kính
Do đó: ΔAHB vuông tại H
=>AH⊥BC tại H
Ta có: \(\hat{BAH}+\hat{B}=90^0\)
=>\(\hat{B}=90^0-60^0=30^0\)
Xét ΔBAC vuông tại A có \(cosB=\frac{BA}{BC}\)
=>\(\frac{BA}{8}=cos30=\frac{\sqrt3}{2}\)
=>\(BA=\frac{8\cdot\sqrt3}{2}=4\sqrt3\left(\operatorname{cm}\right)\)
Xét ΔBHA vuông tại H có \(cosBAH=\frac{AH}{AB}\)
=>\(\frac{AH}{4\sqrt3}=cos60=\frac12\)
=>\(AH=4\cdot\frac{\sqrt3}{2}=2\sqrt3\left(\operatorname{cm}\right)\)
ΔAHB vuông tại H
=>\(HA^2+HB^2=AB^2\)
=>\(HB=\sqrt{\left(4\sqrt3\right)^2-\left(2\sqrt3\right)^2}=6\left(\operatorname{cm}\right)\)
Diện tích đáy là:
\(S_{đáy}=\pi\cdot R^2=\pi\cdot\left(2\sqrt3\right)^2=12\pi\left(\operatorname{cm}^2\right)\)
Diện tích xung quanh là:
\(S_{xq}=\pi\cdot r\cdot l=\pi\cdot2\sqrt3\cdot6=12\sqrt3\cdot\pi\left(\operatorname{cm}^2\right)\)
Diện tích toàn phần là:
\(S_{tp}=12\pi+12\sqrt3\cdot\pi=12\pi\left(1+\sqrt3\right)\left(\operatorname{cm}^2\right)\)
b: Khi quay đoạn thẳng AB quanh cạnh AB cố định thì nó sẽ tạo ra hình cầu có đường kính AB
=>\(R=\frac{AB}{2}=\frac{4\sqrt3}{2}=2\sqrt3\left(\operatorname{cm}\right)\)
=>\(V_{cầu}=\frac43\cdot\pi\cdot R^3=\frac43\cdot\pi\cdot\left(2\sqrt3\right)^3=32\sqrt3\cdot\pi\left(\operatorname{cm}^3\right)\)
Thể tích hình nón là:
\(V_2=\frac13\cdot\pi\cdot r^2\cdot h=\frac13\pi\cdot\left(2\sqrt3\right)^2\cdot4\sqrt3=16\sqrt3\cdot\pi\left(\operatorname{cm}^3\right)\)
Tỉ số giữa thể tích hình cầu và hình nón là:
\(\frac{V_{cầu}}{V_2}=\frac{32\sqrt3\cdot\pi}{16\sqrt3\cdot\pi}=2\)
