Question

Cho a,b,c thuộc N* và S=\(\frac{a+b}{c}\)+\(\frac{b+c}{a}\)+\(\frac{c+a}{b}\)

Chứng minh rằng:

   a) \(\frac{a}{b}\)+\(\frac{b}{a}\)>2                  b)S > 6

Answer 1

Làm câu b :

S = (a + b)/c + (b + c)/a + (c + a)/b 
S = (a + b)/c + 1 + (b + c)/a + 1 + (c + a)/b + 1 - 3 
S = (a + b + c)/c + (a + b + c)/a + (a + b + c)/b - 3 
S = (a + b + c)(1/a + 1/b + 1/c) - 3 

Áp dụng bđt Cosi cho 3 số dương ta có: 
. a + b + c ≥ 3.³√(a.b.c) 
. 1/a + 1/b + 1/c ≥ 3.³√(1/a.1/b.1/c) 

--> S ≥ 3.³√(a.b.c).3.³√(1/a.1/b.1/c) - 3 = 9 - 3 = 6 --> đ.p.c.m 

Dấu " = " xảy ra ⇔ a = b = c