Question

Cho  ABC nội tiếp đường tròn (O). Từ A kẻ đường kính AD. Tia AB và AC lần lượt cắt tiếp tuyến tại D của đường tròn tại E và F. Chứng minh: ̂̂ ̂̂ a/ 𝐴𝐸𝐹=𝐴𝐷𝐵 b/𝐴𝐹𝐸=𝐴𝐷𝐶 c/ Tứ giác BCFE nội tiếp. d/ AB.AE = AC. AF

Answer 1

a: Xét (O) có

ΔABD nội tiếp

AD là đường kính

Do đó: ΔABD vuông tại B

Xét ΔABD vuông tại B và ΔADE vuông tại D có

\(\widehat{BAD}\) chung

Do đó: ΔABD~ΔADE

=>\(\widehat{ADB}=\widehat{AED}=\widehat{AEF}\)

b: Xét (O) có

ΔACD nội tiếp

AD là đường kính

Do đó: ΔACD vuông tại C

Xét ΔACD vuông tại C và ΔADF vuông tại D có 

\(\widehat{CAD}\) chung

Do đó: ΔACD~ΔADF

=>\(\widehat{ADC}=\widehat{AFD}=\widehat{AFE}\)

c: Xét (O) có

\(\widehat{ABC};\widehat{ADC}\) là các góc nội tiếp cùng chắn cung AC

=>\(\widehat{ABC}=\widehat{ADC}\)

mà \(\widehat{ADC}=\widehat{AFE}\)

nên \(\widehat{ABC}=\widehat{AFE}\)

=>\(\widehat{CFE}+\widehat{CBE}=180^0\)

=>BCFE là tứ giác nội tiếp

d: Xét ΔADE vuông tại D có DB là đường cao

nên \(AB\cdot AE=AD^2\left(1\right)\)

Xét ΔADF vuông tại D có DC là đường cao

nên \(AC\cdot AF=AD^2\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra \(AB\cdot AE=AC\cdot AF\)