Question

Cho △ABC nhọn (AB < AC) hai đường cao AD và BE cắt nhau tại H.
a) C/m : △HEA ∼ △HDB
b) Kẻ DK ⊥ AC tại K. C/m : (CD^2) = CK.CA.
c) Gọi N là trung điểm CK. Trên tia đối của tia AD lấy điểm F sao cho AF = AD. C/m FK ⊥ DN tại S.

Answer 1

a) Xét tam giác HEA và tam giác HDB có: \(\angle HEA=\angle HDB=90^o;\angle AHE=\angle BHD(\text{đối đỉnh})\).

Do đó \(\Delta HEA\sim\Delta HDB\left(g.g\right)\).

b) Xét tam giác CKD và CDA có \(\angle CKD=\angle CDA=90^o;\widehat{C}-\text{góc chung}\).

Do đó \(\Delta CKD\sim\Delta CDA\left(g.g\right)\) nên \(\dfrac{CD}{CK}=\dfrac{CA}{CD}\Rightarrow CD^2=CA.CK\).

b) Gọi G là trung điểm của DK.

Do GN là đường trung bình của tam giác KDC nên GN // DC. Suy ra GN vuông góc với AD.

Mà DG vuông góc với AC nên G là trực tâm của tam giác ADN.

Suy ra AG vuông góc với DN. Mà FK // AG (Do AG là đường trung bình của tam giác DFK) nên FK vuông góc với DN.

Answer 2

a) Xét ΔHEA vuông tại E và ΔHDB vuông tại D có 

\(\widehat{AHE}=\widehat{BHD}\)(hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔHEA\(\sim\)ΔHEB(g-g)