Do a;b;c dương, áp dụng tính chất của phân số, ta có:
\(\frac{a}{b+c}< \frac{a+a}{a+b+c}=\frac{2a}{a+b+c}\)
Tương tự: \(\frac{b}{c+a}< \frac{2b}{a+b+c}\) ; \(\frac{c}{a+b}< \frac{2c}{a+b+c}\)
Cộng vế với vế:
\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}< \frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\) (đpcm)
Bài 1: Cho a,b,c là đọ dài 3 cạnh của 1 tam giác có chu vi bằng 4. CMR: \(\frac{1}{a}\) + \(\frac{1}{b}\) + \(\frac{1}{c}\) + 8 > 9(\(\frac{1}{a+b}\) + \(\frac{1}{b+c}\) + \(\frac{1}{c+a}\))
Bài 2: Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác. CMR: \(\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\) + \(\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\) + \(\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}\) > 1
Cho a , b , c là ba cạnh của tam giác. CMR:
\(\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{a+c-b}+\frac{c}{a+b-c}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác. Chứng minh rằng: \(\frac{1}{a+b};\frac{1}{a+c};\frac{1}{b+c}\) là độ dài ba cạnh của một tam giác.
Cho a,b,c là số đo ba cạnh của tam giác . Chứng minh rằng:
\(\frac{\sqrt{a}}{b+c-a}+\frac{\sqrt{b}}{c+a-b}+\frac{\sqrt{c}}{a+b-c}\ge\frac{a+b+c}{\sqrt{abc}}\)
Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh là a, b, c. Chứng minh rằng :
\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}< 2\)
Tam giác ABC có các cạnh là: a,b,c. Gọi 2p là chu vi tam giác. CMR:
a) \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}>=\frac{4}{a+b}\)
b) \(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}>=2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
Cho 2p=18. Tìm GTNN của a2+b2+c2
Cho tam giác ABC với độ dài ba cạnh là a,b, c tương ứng với ba đỉnh A; B; C và R là bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác. Chứng minh rằng:\(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\ge\frac{1}{R^2}\)
a) cho x,y,z là các số thực dương. . Chứng minh rằng: \(\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\ge x+\sqrt{yz}\)
b) cho a,b,c là số đo ba cạnh của tam giác. Chứng minh rằng:
\(\frac{\sqrt{a}}{b+c-a}+\frac{\sqrt{b}}{c+a-b}+\frac{\sqrt{c}}{a+b-c}\ge\frac{a+b+c}{\sqrt{abc}}\)
Cho a, b, c là 3 cạnh của 1 tam giác. CMR
\(\sqrt{\frac{a}{b+c-a}}+\sqrt{\frac{b}{c+a-b}}+\sqrt{\frac{c}{b+a-c}}\)
