Ta có a < b + c; b < c + a; c < a + b nên từ a + b + c = 2 suy ra a, b, c < 1.
BĐT cần cm tương đương:
\(\left(a+b+c\right)^2+2abc< 2\left(ab+bc+ca\right)+2\)
\(\Leftrightarrow abc-\left(ab+bc+ca\right)+1< 0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)< 0\).
Bất đẳng thức trên luôn đúng do a, b, c < 1.
Vậy ta có đpcm.
cho a,b,c là độ dài 3 cạnh tam giác thỏa mãn a+b+c=1. Chứng minh rằng
\(1< \dfrac{a}{\sqrt{a^2+c}}+\dfrac{b}{\sqrt{a+b^2}}+\dfrac{c}{\sqrt{c^2+b}}< 2\)
câu 1: Cho a,b,c là các số không âm thỏa a+b+c=3.chứng minh
\(\dfrac{a^2}{a+b^2}+\dfrac{b^2}{b+c^2}+\dfrac{c^2}{c+a^2}\ge\dfrac{3}{2}\)
câu 2: cho a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác . chứng minh
\(\dfrac{a}{\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}}+\dfrac{b}{\sqrt{2a^2+2c^2-b^2}}+\dfrac{c}{\sqrt{2a^2+2b^2-c^2}}\ge\sqrt{3}\)
câu 3:tìm tất cả nghiệm nguyên dương của phương trình
xyz+xy+yz+xz+x+y+z=2015 thỏa \(x\ge y\ge z\ge8\)
Cho các số thực dương a, b, c thỏa
a^2+b^2+c^2=3 chứng minh (2a^2)/(a+b^2 )+(2b^2)/(b+c^2 )+(2c^2)/(c+a^2 )≥a+b+c
Chứng minh rằng với a,b là độ dài hai cạnh của một tam giác vuông với độ dài cạnh huyền là c thì a+b\(\le c\sqrt{2}\)
Cho a,b,c thỏa mãn: \(a^2+b^2+c^2=2\). Chứng minh rằng:\(\dfrac{a^3}{b+c}+\dfrac{b^3}{c+a}+\dfrac{c^3}{a+b}\ge\dfrac{1}{2}\)
Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn: a2 + b2 + c2 + 2abc =1. Tính giá trị của biểu thức:
\(P=a\sqrt{\left(1-b^2\right)\left(1-c^2\right)}+b\sqrt{\left(1-a^2\right)\left(1-c^2\right)}+c\sqrt{\left(1-a^2\right)\left(1-b^2\right)}-abc\)
Cho a, b, c là 3 cạnh của 1 tam giác và \(a\le b\le c\). Chứng minh :
\(2\left(\dfrac{a}{b}\dfrac{b}{c}\dfrac{c}{a}\right)\ge\dfrac{b}{a}+\dfrac{c}{b}+\dfrac{a}{c}+3\)
Cho a,b,c thuộc (0,1) thỏa mãn: abc=(1-a)(1-b)(1-c). Chứng minh rằng \(a^2+b^2+c^2>=\dfrac{3}{4}\)
Cho a,b,c dương thỏa mãn ab+bc+ca=3.
Chứng minh: \(\frac{a}{a^2+2b+3}+\frac{b}{b^2+2c+3}+\frac{c}{c^2+2a+3}\le\frac{1}{2}\)
