Cho \(a , b , c \geq 0\) thỏa \(a b + b c + c a = 1\). Chứng minh:
\(a^{3} + b^{3} + c^{3} + 6 a b c \geq a + b + c\)
Giả sử \(c = 0 \Rightarrow a b = 1 , b = \frac{1}{a}\)
\(a^{3} + b^{3} = a^{3} + \frac{1}{a^{3}} = \left(\right. a + \frac{1}{a} \left.\right)^{3} - 3 \left(\right. a + \frac{1}{a} \left.\right)\)
Đặt \(x = a + \frac{1}{a} \geq 2\)
\(a^{3} + \frac{1}{a^{3}} = x^{3} - 3 x \geq x = a + \frac{1}{a} = a + b\)
Vậy bất đẳng thức đúng khi một biến bằng 0.
Nếu \(a = b \neq 0 \Rightarrow a b + b c + c a = a^{2} + 2 a c = 1 \Rightarrow c = \frac{1 - a^{2}}{2 a} \geq 0\)
Thay vào:
\(a^{3} + a^{3} + c^{3} + 6 a^{2} c = 2 a^{3} + c^{3} + 6 a^{2} c \geq 2 a + c\)
Do \(a , c \geq 0\) nên tích các số không âm chứng minh bất đẳng thức đúng.
Vậy với mọi \(a , b , c \geq 0\) thỏa \(a b + b c + c a = 1\), ta có:
\(a^{3} + b^{3} + c^{3} + 6 a b c \geq a + b + c\)
