Bunhia thì phải hoặc tương đương thần chưởng @@
Có lẽ bunhia đấy :vv
Câu này t dùng vi-et giải được. Nhưng để mai đi. Giờ giải bằng điện thoại thì khó quá
Let \(\left(\frac{1}{a};\frac{1}{b};\frac{1}{c}\right)\rightarrow\left(x,y,z\right)\) thì \(x+y+z=xyz\) và BĐT cần cm là
\(xy+yz+xz\ge3+\sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+1}+\sqrt{z^2+1}\)
Từ: \(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\ge\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}\)\(\Rightarrow x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\ge x^2y^2z^2\)
Hơn thế
\(\left(xy+yz+xz-3\right)^2=\left(xy+yz+xz\right)^2-6\left(xy+yz+xz\right)+9\)
\(\ge3\left(x+y+z\right)^2-6\left(xy+yz+xz\right)+9\)\(=3\left(x^2+y^2+z^2\right)+9\)
Suy ra \(xy+yz+xz\ge3+\sqrt{3\left(x^2+y^2+z^2\right)+9}\)
Nên cần chứng minh \(\sqrt{3\left(x^2+y^2+z^2\right)+9}\ge\sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+1}+\sqrt{z^2+1}\)
Theo Cauchy-Schwarz có: \(VP^2\le\left(1+1+1\right)\left(x^2+y^2+z^2+3\right)\)
\(=3\left(x^2+y^2+z^2+3\right)=3\left(x^2+y^2+z^2\right)+9=VT^2\)
BĐT trên đúng nên ta có ĐPCM
Đặt \(a=\frac{1}{x};b=\frac{1}{y};c=\frac{1}{z}\) thì bài toán thành.
\(\hept{\begin{cases}x+y+z=xyz\\xy+yz+zx\ge3+\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1+y^2}+\sqrt{1+z^2}\end{cases}}\)
Ta có:
\(x+y+z\ge2\sqrt{xy}+z\)
\(\Rightarrow xyz\ge2\sqrt{xy}+z\)
Xem đây là phương trình theo ẩn \(\sqrt{xy}\)áp dụng đấu tam thức ta được
\(\Rightarrow\sqrt{xy}\ge\frac{1+\sqrt{1+z^2}}{z}\)
Ta lại có:
\(xy+yz+zx\ge x\sqrt{yz}+y\sqrt{zx}+z\sqrt{xy}\)
\(\ge1+\sqrt{1+x^2}+1+\sqrt{1+y^2}+1+\sqrt{1+z^2}\)
\(=3+\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1+y^2}+\sqrt{1+z^2}\)
bla bla bla bla bla ..................xong rùi đó
https://hoidap247.com/cau-hoi/792646
